数学B 漸化式の応用 問題 5 解説

方針・初手

点 $P_n$ を外分点としてベクトルで表し、$Q_n$ が $AP_n$ の中点であることから $\overrightarrow{AQ_n}$ を求める。

次に、$R_n$ が線分 $BQ_n$ 上にあることを利用し、$BR_n/BQ_n$ を文字でおく。$R_n$ が線分 $AC$ 上にあるためには $\overrightarrow{AB}$ の係数が $0$ になるので、そこから $a_{n+1}$ の漸化式を得る。

解法1

$A$ を基準にして、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を用いる。

点 $P_n$ は辺 $BC$ を $a_n:(a_n-1)$ に外分する点であるから、外分の公式より

$$ \overrightarrow{AP_n} =a_n\overrightarrow{AC}-(a_n-1)\overrightarrow{AB} $$

である。

$Q_n$ は線分 $AP_n$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{AQ_n} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AP_n} =-\frac{a_n-1}{2}\overrightarrow{AB} +\frac{a_n}{2}\overrightarrow{AC} $$

となる。これが （1） の答えである。

次に、$R_n$ は線分 $BQ_n$ 上にあるので、

$$ \frac{BR_n}{BQ_n}=t $$

とおく。ただし $0<t<1$ である。このとき

$$ \overrightarrow{AR_n} =\overrightarrow{AB} +t\overrightarrow{BQ_n} $$

である。

ここで

$$ \overrightarrow{BQ_n} =\overrightarrow{AQ_n}-\overrightarrow{AB} $$

だから、上で求めた $\overrightarrow{AQ_n}$ を代入すると

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BQ_n} &= \left( -\frac{a_n-1}{2}\overrightarrow{AB} +\frac{a_n}{2}\overrightarrow{AC} \right) -\overrightarrow{AB} \\ &= -\frac{a_n+1}{2}\overrightarrow{AB} +\frac{a_n}{2}\overrightarrow{AC} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AR_n} &= \overrightarrow{AB} +t\left( -\frac{a_n+1}{2}\overrightarrow{AB} +\frac{a_n}{2}\overrightarrow{AC} \right)\\ &= \left( 1-\frac{a_n+1}{2}t \right)\overrightarrow{AB} +\frac{a_n}{2}t\overrightarrow{AC} \end{aligned} $$

となる。

一方、$R_n$ は線分 $AC$ 上にあるので、$\overrightarrow{AR_n}$ は $\overrightarrow{AC}$ の実数倍である。よって $\overrightarrow{AB}$ の係数は $0$ でなければならない。

したがって

$$ 1-\frac{a_n+1}{2}t=0 $$

より

$$ t=\frac{2}{a_n+1} $$

である。よって

$$ \frac{BR_n}{BQ_n}=\frac{2}{a_n+1} $$

だから、

$$ a_{n+1} =\frac{BQ_n}{BR_n} =\frac{a_n+1}{2} $$

を得る。

したがって、数列 ${a_n}$ は

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+1}{2} $$

を満たす。これを

$$ a_{n+1}-1=\frac{1}{2}(a_n-1) $$

と変形する。

初項は $a_1=2$ であるから、

$$ a_1-1=1 $$

であり、等比数列として

$$ a_n-1=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

となる。ゆえに

$$ a_n=1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

である。

解説

この問題の要点は、外分点をベクトルで正確に表すことである。$P_n$ が $BC$ を $a_n:(a_n-1)$ に外分するため、

$$ \overrightarrow{AP_n} =a_n\overrightarrow{AC}-(a_n-1)\overrightarrow{AB} $$

となる。この符号を誤ると以後の計算がすべて崩れる。

また、$R_n$ は $BQ_n$ 上にも $AC$ 上にもある点である。そこで $BR_n/BQ_n=t$ とおき、$\overrightarrow{AR_n}$ を $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で表す。$AC$ 上の点であることから $\overrightarrow{AB}$ の係数を $0$ にする、という処理が典型的である。

最終的に得られる漸化式は一次漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+1}{2} $$

であり、$1$ を引くことで等比数列に帰着できる。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{AQ_n} =-\frac{a_n-1}{2}\overrightarrow{AB} +\frac{a_n}{2}\overrightarrow{AC} $$

(2)

$$ a_n =1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$