数学B 漸化式の応用 問題 11 解説

方針・初手

割る式が

$$ \alpha^2-2\alpha+1=(\alpha-1)^2 $$

であることに注目する。余りは $a_n\alpha+b_n$ であり、$\alpha=1$ を代入すると $a_n+b_n$ がすぐに求まる。

その後、$(\alpha+1)^{n+1}=(\alpha+1)(\alpha+1)^n$ を利用し、$\alpha^2$ を $\alpha^2-2\alpha+1$ で割った余りに置き換えて、$a_{n+1}$ の漸化式を作る。

解法1

$n=1$ のとき、

$$ (\alpha+1)^1=\alpha+1 $$

であるから、余りはそのまま $\alpha+1$ である。したがって

$$ a_1=1 $$

である。

次に、$(\alpha+1)^n$ を $\alpha^2-2\alpha+1$ で割った余りが $a_n\alpha+b_n$ であるから、

$$ (\alpha+1)^n \equiv a_n\alpha+b_n \pmod{\alpha^2-2\alpha+1} $$

と書ける。

ここで $\alpha=1$ を代入すると、左辺は

$$ (1+1)^n=2^n $$

であり、右辺は

$$ a_n+b_n $$

である。よって

$$ a_n+b_n=2^n $$

が成り立つ。

次に、$a_{n+1}$ を $a_n$ のみで表す。両辺に $\alpha+1$ を掛けると、

$$ (\alpha+1)^{n+1}\equiv(\alpha+1)(a_n\alpha+b_n) $$

である。右辺を展開すると、

$$ (\alpha+1)(a_n\alpha+b_n) =a_n\alpha^2+(a_n+b_n)\alpha+b_n $$

となる。

また、

$$ \alpha^2-2\alpha+1=0 $$

とみなせば、余りを考える上では

$$ \alpha^2\equiv 2\alpha-1 $$

と置き換えられる。したがって、

$$ \begin{aligned} a_n\alpha^2+(a_n+b_n)\alpha+b_n &\equiv a_n(2\alpha-1)+(a_n+b_n)\alpha+b_n \\ &=(3a_n+b_n)\alpha+(b_n-a_n) \end{aligned} $$

である。

よって、$\alpha$ の係数を比較して

$$ a_{n+1}=3a_n+b_n $$

を得る。ここで $a_n+b_n=2^n$ より $b_n=2^n-a_n$ であるから、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=3a_n+(2^n-a_n) \\ &=2a_n+2^n \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ a_{n+1}=2a_n+2^n $$

である。

ここで

$$ c_n=\frac{a_n}{2^n} $$

とおく。漸化式

$$ a_{n+1}=2a_n+2^n $$

の両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} &= \frac{2a_n}{2^{n+1}}+\frac{2^n}{2^{n+1}} \end{aligned} $$

より、

$$ c_{n+1}=c_n+\frac{1}{2} $$

となる。したがって、数列 ${c_n}$ は公差

$$ \frac{1}{2} $$

の等差数列である。

また、

$$ c_1=\frac{a_1}{2^1}=\frac{1}{2} $$

であるから、

$$ c_n=\frac{1}{2}+(n-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{n}{2} $$

となる。

よって、

$$ \frac{a_n}{2^n}=\frac{n}{2} $$

であるから、

$$ a_n=n2^{n-1} $$

が得られる。

解説

この問題の要点は、割る式が $(\alpha-1)^2$ であるため、$\alpha=1$ を代入すると余りの値が簡単に得られる点である。

余りが $a_n\alpha+b_n$ であるから、$\alpha=1$ を代入して

$$ a_n+b_n=2^n $$

を得る。この関係によって $b_n$ を消去できる。

また、次の項を作るときは

$$ (\alpha+1)^{n+1}=(\alpha+1)(\alpha+1)^n $$

を使い、余りの計算では

$$ \alpha^2\equiv 2\alpha-1 $$

と置き換えるのが基本である。これにより

$$ a_{n+1}=2a_n+2^n $$

が得られる。

最後に $2^n$ で割って

$$ c_n=\frac{a_n}{2^n} $$

とおくと、漸化式が等差数列の形になるため、一般項を容易に求められる。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=1} $$

$$ \boxed{\text{キ}=2^n} $$

$$ \boxed{\text{ク}=2} $$

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{1}{2}} $$

$$ \boxed{\text{コ}=n2^{n-1}} $$