数学B 漸化式の応用 問題 12 解説

方針・初手

どちらの漸化式も一次漸化式である。定数項を消すために、それぞれの不動点を求めてから、等比数列に直す。

共通して $3$ が基準になるので、$a_n-3$、$b_n-3$ を考えるのが自然である。

解法1

まず、初めの数項を求める。

$$ a_2=2a_1-3=2\cdot 103-3=203 $$

$$ a_3=2a_2-3=2\cdot 203-3=403 $$

また、

$$ b_2=\frac{1}{2}(5b_1-9)=\frac{1}{2}(5\cdot 4-9)=\frac{11}{2} $$

$$ b_3=\frac{1}{2}(5b_2-9) =\frac{1}{2}\left(5\cdot \frac{11}{2}-9\right) =\frac{1}{2}\cdot \frac{37}{2} =\frac{37}{4} $$

次に、数列 ${a_n}$ の一般項を求める。

漸化式

$$ a_{n+1}=2a_n-3 $$

について、不動点を考える。$x=2x-3$ より $x=3$ である。そこで $a_n-3$ を考えると、

$$ a_{n+1}-3=2a_n-6=2(a_n-3) $$

となる。したがって、数列 ${a_n-3}$ は公比 $2$ の等比数列である。

初項は

$$ a_1-3=103-3=100 $$

であるから、

$$ a_n-3=100\cdot 2^{n-1} $$

よって、

$$ a_n=100\cdot 2^{n-1}+3 $$

である。

次に、数列 ${b_n}$ の一般項を求める。

漸化式

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}(5b_n-9) $$

すなわち

$$ b_{n+1}=\frac{5}{2}b_n-\frac{9}{2} $$

について、不動点を考える。$x=\frac{5}{2}x-\frac{9}{2}$ より

$$ 2x=5x-9 $$

したがって

$$ x=3 $$

である。そこで $b_n-3$ を考えると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1}-3 &= \frac{5}{2}b_n-\frac{9}{2}-3 \\ \frac{5}{2}b_n-\frac{15}{2} \\ \frac{5}{2}(b_n-3) \end{aligned} $$

となる。したがって、数列 ${b_n-3}$ は公比 $\frac{5}{2}$ の等比数列である。

初項は

$$ b_1-3=4-3=1 $$

であるから、

$$ b_n-3=\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1} $$

よって、

$$ b_n=\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}+3 $$

である。

最後に、$a_n<b_n$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める。

一般項より、

$$ 100\cdot 2^{n-1}+3<\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}+3 $$

である。両辺から $3$ を引くと、

$$ 100\cdot 2^{n-1}<\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1} $$

両辺を $2^{n-1}$ で割って、

$$ 100<\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1} $$

となる。

両辺の常用対数をとると、

$$ 2<(n-1)\log_{10}\frac{5}{4} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{5}{4} &= \log_{10}5-\log_{10}4 \end{aligned} $$

であり、

$$ \log_{10}5=1-\log_{10}2=1-0.3010=0.6990 $$

また、

$$ \log_{10}4=2\log_{10}2=2\cdot 0.3010=0.6020 $$

であるから、

$$ \log_{10}\frac{5}{4}=0.6990-0.6020=0.0970 $$

したがって、

$$ 2<0.0970(n-1) $$

すなわち

$$ n-1>\frac{2}{0.0970} $$

である。

$$ \frac{2}{0.0970}\fallingdotseq 20.6 $$

より、

$$ n-1\geqq 21 $$

でなければならない。よって最小の自然数 $n$ は

$$ n=22 $$

である。

解説

一次漸化式 $x_{n+1}=px_n+q$ は、不動点を引くことで等比数列に変形できる。今回の問題では、どちらの数列も不動点が $3$ であるため、$a_n-3$、$b_n-3$ を考えるのが最も自然である。

$a_n$ と $b_n$ の比較では、どちらにも $+3$ が含まれるため、それを消すと指数部分だけの比較になる。さらに $2^{n-1}$ で割ることで、

$$ 100<\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1} $$

という形になり、常用対数を用いて $n$ の範囲を求めればよい。

答え

(1)

$$ a_2=203,\quad a_3=403,\quad b_2=\frac{11}{2},\quad b_3=\frac{37}{4} $$

(2)

$$ a_n=100\cdot 2^{n-1}+3 $$

(3)

$$ b_n=\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}+3 $$

(4)

$$ n=22 $$