数学B 数列･確率 問題 5 解説

方針・初手

この操作が $n$ 回目で終了するためには、$n$ 回目に初めて「3回目の $1$」が出る必要がある。

したがって、最初の $n-1$ 回のうちちょうど $2$ 回だけ $1$ が出て、$n$ 回目に $1$ が出る場合を数えればよい。

解法1

サイコロで $1$ が出る確率は $\dfrac{1}{6}$、$1$ 以外が出る確率は $\dfrac{5}{6}$ である。

$n$ 回目で終了するには、最初の $n-1$ 回の中で $1$ がちょうど $2$ 回出て、最後の $n$ 回目に $1$ が出ればよい。

最初の $n-1$ 回のうち、$1$ が出る $2$ 回の位置の選び方は

$$ {}_{n-1}C_2 $$

通りである。よって

$$ p_n={}_{n-1}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\cdot \frac{1}{6} $$

となる。したがって

$$ p_n={}_{n-1}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} $$

である。

特に、

$$ p_3={}_{2}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216} $$

であり、

$$ p_4={}_{3}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right) =3\cdot \frac{1}{216}\cdot \frac{5}{6} =\frac{5}{432} $$

である。

次に、$p_n=p_{n+1}$ となる $n$ を求める。

一般項より、

$$ p_n=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} $$

である。また、

$$ p_{n+1}=\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} $$

であるから、$p_n=p_{n+1}$ より

$$ \begin{aligned} \frac{(n-1)(n-2)}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} &= \frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} \end{aligned} $$

となる。ここで $n\geqq 3$ なので、共通因数を消すと

$$ n-2=\frac{5}{6}n $$

である。よって

$$ 6n-12=5n $$

より、

$$ n=12 $$

である。

次に、$p_n$ が最大となる $n$ を求める。

隣り合う項の比を考えると、

$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{{}*{n}C_2}{{}*{n-1}C_2}\cdot \frac{5}{6} \\ \frac{n}{n-2}\cdot \frac{5}{6} \\ \frac{5n}{6(n-2)} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}>1 $$

となるのは

$$ 5n>6(n-2) $$

すなわち

$$ n<12 $$

のときである。

また、

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}=1 $$

となるのは $n=12$ のときであり、

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}<1 $$

となるのは $n>12$ のときである。

よって、$p_n$ は $n=12$ まで増加し、$p_{12}=p_{13}$ となり、その後減少する。したがって、$p_n$ が最大となるのは

$$ n=12,\ 13 $$

である。

解説

この問題は、「3回目の成功が $n$ 回目に起こる確率」を求める問題であり、負の二項分布の典型形である。

重要なのは、$n$ 回目で終了する条件を「最初の $n-1$ 回で $1$ がちょうど $2$ 回出て、$n$ 回目に $1$ が出る」と言い換えることである。

最大値を求める部分では、$p_n$ 自体を微分するのではなく、離散的な数列なので隣り合う項の比 $\dfrac{p_{n+1}}{p_n}$ を調べるのが自然である。比が $1$ より大きければ増加、$1$ より小さければ減少である。

答え

(1)

$$ p_3=\frac{1}{216} $$

$$ p_4=\frac{5}{432} $$

一般に、

$$ p_n={}_{n-1}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} $$

また、

$$ p_n=p_{n+1} $$

となるのは

$$ n=12 $$

のときである。

したがって、

$$ \boxed{\text{ア}=\frac{1}{216},\quad \text{イ}=\frac{5}{432},\quad \text{ウ}={}_{n-1}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3},\quad \text{エ}=12} $$

(2)

$$ \boxed{n=12,\ 13} $$