数学B 数列･確率 問題 6 解説

方針・初手

「$6$ の約数の目」は $1,2,3,6$ の $4$ 通りである。したがって、$1$ 回の試行で $6$ の約数の目が出る確率は

$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

であり、出ない確率は

$$ \frac{1}{3} $$

である。

「奇数回出る」という状態は、次の $1$ 回で $6$ の約数の目が出ると偶奇が入れ替わり、出ないと偶奇が変わらない。この偶奇の変化に注目して漸化式を立てる。

解法1

まず、$p(2)$ を求める。

$2$ 回投げて $6$ の約数の目が奇数回出るのは、ちょうど $1$ 回出る場合である。したがって

$$ \begin{aligned} p(2) &= {}_2 \mathrm{C}_{1} \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right) &= \frac{4}{9} \end{aligned} $$

である。

次に、$n \geqq 2$ における $p(n)$ と $p(n-1)$ の関係を考える。

$n$ 回目までで $6$ の約数の目が奇数回出ているためには、次のいずれかであればよい。

(i)

$n-1$ 回目までに奇数回出ていて、$n$ 回目に $6$ の約数の目が出ない。

この確率は

$$ p(n-1)\cdot \frac{1}{3} $$

である。

(ii)

$n-1$ 回目までに偶数回出ていて、$n$ 回目に $6$ の約数の目が出る。

$n-1$ 回目までに偶数回出ている確率は $1-p(n-1)$ であるから、この確率は

$$ {1-p(n-1)}\cdot \frac{2}{3} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} p(n) &= \frac{1}{3}p(n-1) + \frac{2}{3}{1-p(n-1)} \\ &= \frac{2}{3} &= \frac{1}{3}p(n-1) \end{aligned} $$

である。

この漸化式を解くために、定数解を考える。$p(n)=p(n-1)=\alpha$ とおくと

$$ \begin{aligned} \alpha &= \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3}\alpha \end{aligned} $$

より

$$ \frac{4}{3}\alpha=\frac{2}{3} $$

したがって

$$ \alpha=\frac{1}{2} $$

である。

そこで、漸化式

$$ \begin{aligned} p(n) &= \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3}p(n-1) \end{aligned} $$

の両辺から $\frac{1}{2}$ を引くと

$$ \begin{aligned} p(n)-\frac{1}{2} &= -\frac{1}{3} \left\{ p(n-1)-\frac{1}{2} \right\} \end{aligned} $$

となる。

したがって、数列 $p(n)-\frac{1}{2}$ は公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列である。初項は

$$ \begin{aligned} p(1)-\frac{1}{2} &= \frac{2}{3}-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} \end{aligned} $$

であるから

$$ \begin{aligned} p(n)-\frac{1}{2} &= \frac{1}{6} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} p(n) &= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \\ &= \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{3}\right)^n \\ &= \frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「何回出たか」を直接数えるよりも、「奇数回か偶数回か」という偶奇の状態だけを追うのが自然である。

$6$ の約数の目が出ると偶奇が反転し、出ないと偶奇がそのまま残る。この性質から

$$ \begin{aligned} p(n) &= \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3}p(n-1) \end{aligned} $$

という一次漸化式が得られる。

また、漸化式を解くときは、定数解 $\frac{1}{2}$ を引いて等比数列に直すのが標準的な処理である。

答え

$$ \boxed{(カ)=\frac{4}{9}} $$

$$ \boxed{(キ)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}p(n-1)} $$

$$ \boxed{(ク)=1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n} $$

したがって

$$ \boxed{ p(n)=\frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} } $$