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数学B 数列･確率問題 7 解説

方針・初手

$P_n$ は、$2n$ 回中で表が $n+1$ 回以上出る確率であるから、二項分布を用いて表す。前半の設問では直接計算し、後半では $P_{n+1}-P_n$ の符号を調べて $P_n$ の増減を判断する。

解法1

$2n$ 回中、表が $k$ 回出る確率は

$$ {}_{2n}\mathrm{C}_{k}p^k(1-p)^{2n-k} $$

である。したがって

$$ P_n=\sum_{k=n+1}^{2n}{}_{2n}\mathrm{C}_{k}p^k(1-p)^{2n-k} $$

である。

まず $P_2$ を求める。$4$ 回中、表が $3$ 回以上出ればよいので、

$$ \begin{aligned} P_2 &={}_{4}\mathrm{C}_{3}p^3(1-p)+{}_{4}\mathrm{C}_{4}p^4 \\ &=4p^3(1-p)+p^4 \\ &=4p^3-3p^4 \\ &=p^3(4-3p) \end{aligned} $$

である。

次に $P_3$ を求める。$6$ 回中、表が $4$ 回以上出ればよいので、

$$ \begin{aligned} P_3 &={}_{6}\mathrm{C}_{4}p^4(1-p)^2+{}_{6}\mathrm{C}_{5}p^5(1-p)+{}_{6}\mathrm{C}_{6}p^6 \\ &=15p^4(1-p)^2+6p^5(1-p)+p^6 \\ &=15p^4-24p^5+10p^6 \\ &=p^4(15-24p+10p^2) \end{aligned} $$

である。

次に $P_3>P_2$ となる $p$ の範囲を求める。$p>0$ より、

$$ \begin{aligned} P_3>P_2 &\Longleftrightarrow p^4(15-24p+10p^2)>p^3(4-3p) \\ &\Longleftrightarrow 10p^3-24p^2+18p-4>0 \\ &\Longleftrightarrow 5p^3-12p^2+9p-2>0 \end{aligned} $$

である。ここで

$$ 5p^3-12p^2+9p-2=(p-1)^2(5p-2) $$

と因数分解できる。$0<p<1$ では $(p-1)^2>0$ であるから、

$$ P_3>P_2 \Longleftrightarrow 5p-2>0 $$

である。したがって

$$ \frac{2}{5}<p<1 $$

である。

次に $P_{n+1}-P_n$ を求める。$2n$ 回投げた時点で表の出た回数を $X$ とし、さらに追加で $2$ 回投げたときの表の出た回数を $Y$ とする。

$P_n$ は $X\geqq n+1$ の確率であり、$P_{n+1}$ は $X+Y\geqq n+2$ の確率である。両者の差に影響するのは、$X=n$ と $X=n+1$ の場合だけである。

(i)

$X=n$ のとき

$P_n$ には含まれないが、追加 $2$ 回がともに表なら $P_{n+1}$ に含まれる。この寄与は

$$ \begin{aligned} {}_{2n}\mathrm{C}_{n}p^n(1-p)^n\cdot p^2 &= {}_{2n}\mathrm{C}_{n}p^{n+2}(1-p)^n \end{aligned} $$

である。

(ii)

$X=n+1$ のとき

$P_n$ には含まれるが、追加 $2$ 回がともに裏なら $P_{n+1}$ には含まれない。この寄与は差としては負であり、

$$ \begin{aligned} -{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n-1}\cdot (1-p)^2 &= -{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+1} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} P_{n+1}-P_n &={}_{2n}\mathrm{C}_{n}p^{n+2}(1-p)^n -{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+1} \\ &=p^{n+1}(1-p)^n \left\{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}p-{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}(1-p)\right\} \\ &=p^{n+1}(1-p)^n \left\{\left({}_{2n}\mathrm{C}_{n}+{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}\right)p-{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}\right\} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ a={}_{2n}\mathrm{C}_{n}+{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1},\qquad b=-{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1} $$

である。

また、${}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$ だから、

$$ \begin{aligned} \frac{-b}{a} &= \frac{{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{n}+{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}} \\ \frac{n}{2n+1} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ P_{n+1}-P_n>0 \Longleftrightarrow p>\frac{n}{2n+1} $$

である。

最後に $p=\dfrac{7}{16}$ の場合を考える。

$$ P_{n+1}-P_n>0 \Longleftrightarrow \frac{7}{16}>\frac{n}{2n+1} $$

である。これを解くと、

$$ 7(2n+1)>16n $$

すなわち

$$ 14n+7>16n $$

より

$$ n<\frac{7}{2} $$

である。よって $n=1,2,3$ では $P_{n+1}>P_n$ である。

一方、$n\geqq4$ では

$$ \frac{7}{16}<\frac{n}{2n+1} $$

となるため、$P_{n+1}<P_n$ である。したがって $P_n$ は $n=4$ で最大となる。

解説

この問題の中心は、$P_n$ を単に二項分布で書くだけでなく、$P_{n+1}-P_n$ をうまく整理する点にある。

$P_{n+1}$ は $2n+2$ 回中で表が $n+2$ 回以上出る確率である。$2n$ 回投げた状態から追加で $2$ 回投げると考えると、$P_n$ と $P_{n+1}$ の差に関係するのは、表がちょうど $n$ 回または $n+1$ 回出ていた場合だけになる。この観察により、長い和を直接引き算せずに差を求められる。

特に

$$ \begin{aligned} P_{n+1}-P_n &= p^{n+1}(1-p)^n \left\{\left({}_{2n}\mathrm{C}_{n}+{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}\right)p-{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}\right\} \end{aligned} $$

と表せるため、$0<p<1$ では $p^{n+1}(1-p)^n>0$ であり、増減は一次式の符号だけで決まる。