数学B 数列･確率 問題 17 解説

方針・初手

$A_1$ にいる確率だけを追う。$A_1$ 以外のどの頂点にいるかは対称であり、$A_1$ へ移る確率はいずれも同じである。

$n$ 回投げた後に $Q$ が $A_1$ にある確率を $p_n$ とする。初めは $A_1$ にあるので、

$$ p_0=1 $$

である。

解法1

まず $p_1$ を求める。

最初 $Q$ は $A_1$ にある。$A_1$ にとどまるのは、出た目が $1,5,6$ のいずれかのときであるから、

$$ p_1=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

である。

次に $p_2$ を求める。1回目の後に $A_1$ にいる確率は $\dfrac{1}{2}$ であり、その状態から2回目の後も $A_1$ にいる確率は $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ である。

また、1回目の後に $A_1$ 以外にいる確率は $\dfrac{1}{2}$ であり、その状態から $A_1$ に移るには出た目が $1$ であればよいので、その確率は $\dfrac{1}{6}$ である。

したがって、

$$ p_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6} =\frac{1}{4}+\frac{1}{12} =\frac{1}{3} $$

である。

次に漸化式を立てる。$n$ 回投げた後に $A_1$ にいる確率は $p_n$ である。

$n$ 回目の後に $A_1$ にいるとき、次に $A_1$ にとどまる確率は、出た目が $1,5,6$ のいずれかである確率だから、

$$ \frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

である。

一方、$n$ 回目の後に $A_1$ 以外にいる確率は $1-p_n$ である。このとき、次に $A_1$ に移るには出た目が $1$ であればよいので、その確率は

$$ \frac{1}{6} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6}(1-p_n) \end{aligned} $$

である。整理すると、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{3}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

となる。

この漸化式を解く。定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{1}{3}\alpha+\frac{1}{6} $$

より、

$$ \frac{2}{3}\alpha=\frac{1}{6} $$

だから、

$$ \alpha=\frac{1}{4} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{4} &= \frac{1}{3}\left(p_n-\frac{1}{4}\right) \end{aligned} $$

となる。これを繰り返すと、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{4} &= \left(\frac{1}{3}\right)^n \left(p_0-\frac{1}{4}\right) \end{aligned} $$

である。$p_0=1$ より、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{4} &= \left(\frac{1}{3}\right)^n \cdot \frac{3}{4} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$A_2,A_3,A_4$ を個別に追う必要はない。$A_1$ 以外にいるとき、どの頂点にいても、次に $A_1$ に移る確率は常に $\dfrac{1}{6}$ である。

そのため、状態を「$A_1$ にいる」と「$A_1$ 以外にいる」の2つにまとめられる。この対称性に気づくと、4頂点の確率をすべて扱わずに1本の漸化式で解ける。

漸化式

$$ p_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+\frac{1}{6} $$

は定数項をもつ一次漸化式なので、定数解 $\dfrac{1}{4}$ を引いて等比数列に直すのが基本である。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad p_2=\frac{1}{3} $$

(2)

$$ p_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+\frac{1}{6} $$

(3)

$$ p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n $$