数学B 数列･確率 問題 18 解説

方針・初手

点 $P$ が $A$ にいる確率だけを追えばよい。各回の移動は、直前に $A$ にいたか $B$ にいたかによって決まるので、$n-1$ 回目の状態から $n$ 回目の状態への遷移を考える。

サイコロで $1$ の目が出る確率は $\dfrac{1}{6}$、$1$ 以外の目が出る確率は $\dfrac{5}{6}$ である。

解法1

まず $p_1$ を求める。初め $P$ は $A$ にいる。1回目に $A$ にいるのは、$1$ 以外の目が出て、その場にとどまる場合である。したがって

$$ p_1=\frac{5}{6} $$

である。

次に $p_2$ を求める。2回目に $A$ にいる場合は、次の2通りである。

（i） 1回目の後に $A$ にいて、2回目に $1$ 以外の目が出る。

（ii） 1回目の後に $B$ にいて、2回目に $1$ の目が出る。

1回目の後に $A$ にいる確率は $p_1=\dfrac{5}{6}$、$B$ にいる確率は $1-p_1=\dfrac{1}{6}$ であるから、

$$ \begin{aligned} p_2 &= \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} &= \frac{25}{36}+\frac{1}{36} \\ \frac{13}{18} \end{aligned} $$

である。

次に、$n\geqq 2$ とする。$n$ 回目の後に $P$ が $A$ にいる場合を、$n-1$ 回目の後の位置で分ける。

$n-1$ 回目の後に $A$ にいて、$n$ 回目に $1$ 以外の目が出れば、$P$ は $A$ にとどまる。この確率は

$$ p_{n-1}\cdot \frac{5}{6} $$

である。

また、$n-1$ 回目の後に $B$ にいて、$n$ 回目に $1$ の目が出れば、$P$ は $A$ に移る。この確率は

$$ (1-p_{n-1})\cdot \frac{1}{6} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{5}{6}p_{n-1} + \frac{1}{6}(1-p_{n-1}) \\ &= \frac{5}{6}p_{n-1} + \frac{1}{6} &= \frac{1}{6}p_{n-1} \\ &= \frac{2}{3}p_{n-1} + \frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。

次に、$2p_n-1$ と $2p_{n-1}-1$ の関係を調べる。上の漸化式より、

$$ \begin{aligned} 2p_n-1 &= 2\left(\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6}\right)-1 \\ &= \frac{4}{3}p_{n-1}+\frac{1}{3}-1 \\ &= \frac{4}{3}p_{n-1}-\frac{2}{3} \\ &= \frac{2}{3}(2p_{n-1}-1) \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{2p_n-1}{2p_{n-1}-1} &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

である。

最後に一般項を求める。上で得た関係

$$ 2p_n-1=\frac{2}{3}(2p_{n-1}-1) $$

より、数列 $2p_n-1$ は公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列である。

また、

$$ \begin{aligned} 2p_1-1 &= 2\cdot\frac{5}{6}-1 \\ \frac{5}{3}-1 \\ \frac{2}{3} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 2p_n-1 &= \left(\frac{2}{3}\right)^n \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{2}\left\{1+\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題は、現在の位置が $A$ か $B$ かだけで次の状態が決まるため、確率漸化式を立てるのが自然である。

重要なのは、$n$ 回目に $A$ にいる確率を直接数え上げるのではなく、$n-1$ 回目に $A$ にいた場合と $B$ にいた場合に分けることである。これにより

$$ p_n=\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6} $$

という1次の漸化式が得られる。

また、この漸化式はそのまま解くよりも、$2p_n-1$ の形に変形すると等比数列になる。これは、確率が最終的に $\dfrac{1}{2}$ に近づくことを反映している。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{5}{6},\qquad p_2=\frac{13}{18} $$

(2)

$$ p_n=\frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{6} \qquad (n\geqq 2) $$

(3)

$$ \begin{aligned} \frac{2p_n-1}{2p_{n-1}-1} &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

(4)

$$ p_n= \frac{1}{2}\left\{1+\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} $$