数学B 数列･確率 問題 31 解説

方針・初手

奇数回移した後は袋Aに玉が $1$ 個、袋Bに玉が $2$ 個入っている。したがって、$2n-1$ 回移した後の袋Aの玉の色だけに注目すればよい。

全体では白玉が $2$ 個、黒玉が $1$ 個で一定であるから、袋Aの玉が黒なら袋Bは白白、袋Aの玉が白なら袋Bは白黒である。この状態から次の奇数回後、つまり $2$ 回の移動後にどう変わるかを調べる。

解法1

$2n-1$ 回移した後、袋Aの玉が黒玉である確率を $p_n$ とする。

まず初回、すなわち $1=2\cdot 1-1$ 回移した後を考える。最初、袋Aには白玉 $1$ 個と黒玉 $1$ 個が入っているので、袋Aから袋Bへ移す玉は白玉・黒玉がそれぞれ確率 $\dfrac12$ である。

白玉を移せば袋Aには黒玉が残り、黒玉を移せば袋Aには白玉が残る。よって

$$ p_1=\frac12 $$

である。

次に、$2n-1$ 回移した後から $2n+1$ 回移した後までの変化を考える。この間には、袋Bから袋Aへ $1$ 個移し、その後、袋Aから袋Bへ $1$ 個移すという $2$ 回の移動がある。

(i)

$2n-1$ 回移した後、袋Aの玉が黒玉である場合

このとき袋Aは黒、袋Bは白白である。袋Bから袋Aへ移す玉は必ず白玉であるから、袋Aは白黒になる。

その後、袋Aから袋Bへ $1$ 個移す。最後に袋Aに黒玉が残るのは、白玉を移す場合であるから、その確率は

$$ \frac12 $$

である。

(ii)

$2n-1$ 回移した後、袋Aの玉が白玉である場合

このとき袋Aは白、袋Bは白黒である。袋Bから袋Aへ移す玉が黒玉である確率は $\dfrac12$ であり、その場合、袋Aは白黒になる。

さらに袋Aから袋Bへ $1$ 個移すとき、最後に袋Aに黒玉が残るには白玉を移せばよいので、その確率は $\dfrac12$ である。

したがって、この場合に最終的に袋Aに黒玉が残る確率は

$$ \frac12\cdot\frac12=\frac14 $$

である。

以上より、$p_{n+1}$ は

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &=\frac12p_n+\frac14(1-p_n)\\ &=\frac14p_n+\frac14 \end{aligned} $$

である。

次に、この漸化式を解く。

$$ p_{n+1}=\frac14p_n+\frac14 $$

の定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac14\alpha+\frac14 $$

より、

$$ \alpha=\frac13 $$

である。したがって、

$$ p_{n+1}-\frac13=\frac14\left(p_n-\frac13\right) $$

となる。

よって数列 $\left\{p_n-\dfrac13\right\}$ は公比 $\dfrac14$ の等比数列である。$p_1=\dfrac12$ だから、

$$ p_n-\frac13=\left(p_1-\frac13\right)\left(\frac14\right)^{n-1} $$

であり、

$$ \begin{aligned} p_n &=\frac13+\left(\frac12-\frac13\right)\left(\frac14\right)^{n-1}\\ &=\frac13+\frac16\left(\frac14\right)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。

また、$3$ 回移した後は $n=2$ の場合であるから、

$$ p_2=\frac14p_1+\frac14 =\frac14\cdot\frac12+\frac14 =\frac38 $$

である。したがって、袋Aの玉が黒玉である確率は $\dfrac38$、白玉である確率は

$$ 1-\frac38=\frac58 $$

である。

解説

この問題では、毎回すべての玉の配置を追う必要はない。奇数回移した後は袋Aに玉が $1$ 個だけ入っているので、その色だけを状態として見ればよい。

袋Aが黒なら袋Bは白白、袋Aが白なら袋Bは白黒と一意に決まる。このため、状態は「袋Aが黒か白か」の $2$ 通りだけで済む。そこから次の奇数回後へ移る確率を考えることで、$p_n$ に関する一次漸化式が得られる。

答え

(1)

袋Aの玉が白玉である確率は

$$ \frac58 $$

袋Aの玉が黒玉である確率は

$$ \frac38 $$

(2)

$$ p_{n+1}=\frac14p_n+\frac14 $$

(3)

$$ p_n=\frac13+\frac16\left(\frac14\right)^{n-1} $$