数学B 数列･確率 問題 32 解説

方針・初手

2枚の硬貨の状態を、表の枚数によって分類する。すなわち、2枚とも表、表と裏が1枚ずつ、2枚とも裏の3状態だけを考えればよい。

表と裏が1枚ずつの状態では、表の硬貨だけを投げるので、次は「表と裏が1枚ずつ」または「2枚とも裏」にしかならない。この非対称性に注意する。

解法1

操作を $n$ 回行った後の状態について、

• 2枚とも表である確率を $a_n$
• 表と裏が1枚ずつである確率を $b_n$
• 2枚とも裏である確率を $c_n$

とおく。

最初は2枚とも表であるから、

$$ a_0=1,\quad b_0=0,\quad c_0=0 $$

である。

各状態から1回操作したときの遷移を考える。

2枚とも表のときは2枚とも投げるので、次の状態は

$$ 2枚とも表:\frac14,\quad 表と裏が1枚ずつ:\frac12,\quad 2枚とも裏:\frac14 $$

である。

2枚とも裏のときも2枚とも投げるので、同様に

$$ 2枚とも表:\frac14,\quad 表と裏が1枚ずつ:\frac12,\quad 2枚とも裏:\frac14 $$

である。

表と裏が1枚ずつのときは、表になっている硬貨だけを投げる。したがって、表が出れば再び表と裏が1枚ずつ、裏が出れば2枚とも裏となるから、

$$ 表と裏が1枚ずつ:\frac12,\quad 2枚とも裏:\frac12 $$

である。

よって漸化式は

$$ \begin{aligned} a_{n+1}&=\frac14a_n+\frac14c_n,\\ b_{n+1}&=\frac12a_n+\frac12b_n+\frac12c_n,\\ c_{n+1}&=\frac14a_n+\frac12b_n+\frac14c_n \end{aligned} $$

となる。

ここで、常に

$$ a_n+b_n+c_n=1 $$

であるから、

$$ b_{n+1} =\frac12(a_n+b_n+c_n) =\frac12 $$

である。

したがって、$n\geq 1$ では

$$ b_n=\frac12 $$

が成り立つ。

まず $n=1$ のときは、初期状態が2枚とも表なので、2枚とも投げて両方裏になる確率は

$$ c_1=\frac14 $$

である。

次に $n\geq 1$ のとき、$b_n=\frac12$ であるから、

$$ a_n+c_n=1-b_n=\frac12 $$

である。

したがって、

$$ a_{n+1} =\frac14(a_n+c_n) =\frac14\cdot\frac12 =\frac18 $$

である。また、

$$ c_{n+1} =\frac14(a_n+c_n)+\frac12b_n =\frac14\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12 =\frac18+\frac14 =\frac38 $$

となる。

これは $n\geq 1$ に対して成り立つので、$n+1\geq 2$、すなわち $n\geq 2$ では

$$ c_n=\frac38 $$

である。

解説

この問題では、2枚の硬貨を個別に区別して追う必要はない。「2枚とも表」「表と裏が1枚ずつ」「2枚とも裏」の3状態にまとめれば十分である。

注意すべき点は、表と裏が1枚ずつのときには、投げるのが表の硬貨だけであることだ。このため、その状態から2枚とも表になることはない。一方、2枚とも表または2枚とも裏のときは2枚とも投げるので、同じ確率分布で3状態に分かれる。

また、$b_{n+1}=\frac12$ がすぐに出るため、2回目以降は確率分布が固定される。したがって、長い漸化式を解く必要はなく、状態の分類と遷移確率を正確に立てることが中心である。

答え

求める確率は

$$ \begin{cases} \dfrac14 & (n=1),\\[6pt] \dfrac38 & (n\geq 2) \end{cases} $$

である。