数学B 数列･確率 問題 34 解説

方針・初手

カードを戻しながら引くので、各回の結果は独立である。$a_n$ が偶数かどうかだけを追えばよい。

$1,2,3,4,5$ のうち偶数は $2$ 個、奇数は $3$ 個であるから、次に引く数が偶数である確率は $\dfrac{2}{5}$、奇数である確率は $\dfrac{3}{5}$ である。

解法1

$a_n$ が偶数となる確率を $p_n$ とする。

$a_{n+1}$ が偶数となるのは、次のいずれかの場合である。

(i)

$a_n$ が偶数で、次に引く数が偶数である。

(ii)

$a_n$ が奇数で、次に引く数が奇数である。

したがって、

$$ p_{n+1}=p_n\cdot \frac{2}{5}+(1-p_n)\cdot \frac{3}{5} $$

である。これを整理すると、

$$ p_{n+1}=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}p_n $$

となる。

次に、この漸化式を解く。定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}\alpha $$

より、

$$ \alpha=\frac{1}{2} $$

である。よって、

$$ p_{n+1}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{5}\left(p_n-\frac{1}{2}\right) $$

となる。

また、$a_1$ が偶数となるのは $2,4$ を引く場合なので、

$$ p_1=\frac{2}{5} $$

である。したがって、

$$ p_1-\frac{1}{2} =\frac{2}{5}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{10} $$

より、

$$ p_n-\frac{1}{2} =-\frac{1}{10}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} $$

である。ゆえに、

$$ p_n=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2\cdot 5^n} $$

を得る。

次に、$a_n^2+a_{n+1}^2$ を $4$ で割った余りを考える。

任意の自然数 $k$ について、$k$ が偶数なら $k^2$ は $4$ の倍数であり、$k$ が奇数なら $k=2m+1$ と書けるので、

$$ k^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1 $$

より、$k^2$ を $4$ で割った余りは $1$ である。

したがって、自然数 $k$ に対して、$k^2$ を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

よって、$a_n^2+a_{n+1}^2$ を $4$ で割った余りは、$0,1,2$ のいずれかであり、$3$ にはならない。したがって、

$$ t_n=0 $$

である。

さらに、$a_{n+1}=a_n+X$ とする。ただし、$X$ は $n+1$ 回目に引くカードの数である。

余りが $0$ となるのは、$a_n$ と $a_{n+1}$ がともに偶数の場合である。これは、$a_n$ が偶数で、$X$ が偶数の場合であるから、

$$ q_n=p_n\cdot \frac{2}{5} $$

である。よって、

$$ q_n =\frac{2}{5}\left(\frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2\cdot 5^n}\right) =\frac{1}{5}+\frac{(-1)^n}{5^{n+1}} $$

となる。

余りが $1$ となるのは、$a_n$ と $a_{n+1}$ の一方だけが奇数の場合である。これは、$X$ が奇数の場合であり、$a_n$ の偶奇によらない。したがって、

$$ r_n=\frac{3}{5} $$

である。

余りが $2$ となるのは、$a_n$ と $a_{n+1}$ がともに奇数の場合である。これは、$a_n$ が奇数で、$X$ が偶数の場合であるから、

$$ s_n=(1-p_n)\cdot \frac{2}{5} $$

である。よって、

$$ s_n =\frac{2}{5}\left(1-\frac{1}{2}-\frac{(-1)^n}{2\cdot 5^n}\right) =\frac{1}{5}-\frac{(-1)^n}{5^{n+1}} $$

となる。

解説

この問題の中心は、引いた数そのものではなく、和の偶奇だけを追う点である。カードは毎回戻すので、各回の偶奇は独立であり、偶数を引く確率は $\dfrac{2}{5}$、奇数を引く確率は $\dfrac{3}{5}$ で一定である。

また、平方数を $4$ で割った余りは、もとの数の偶奇だけで決まる。偶数の平方は $0$、奇数の平方は $1$ であるから、$a_n^2+a_{n+1}^2$ の余りは $a_n$ と $a_{n+1}$ の偶奇の組だけで決まる。

答え

(1)

$$ p_{n+1}=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}p_n $$

(2)

$$ p_n=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2\cdot 5^n} $$

(3)(i)

任意の自然数 $k$ について、$k^2$ を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

(3)(ii)

$$ t_n=0 $$

(3)(iii)

$$ q_n=\frac{1}{5}+\frac{(-1)^n}{5^{n+1}} $$

$$ r_n=\frac{3}{5} $$

$$ s_n=\frac{1}{5}-\frac{(-1)^n}{5^{n+1}} $$