数学B 数列･確率 問題 33 解説

方針・初手

時刻 $n+1$ に部屋 $A$ にいる確率は、時刻 $n$ に部屋 $A$ にいてそのまま残る場合と、時刻 $n$ に部屋 $B$ にいて部屋 $A$ に移る場合の和で表す。

また、常に

$$ a_n+b_n=1 $$

が成り立つので、$b_n=1-a_n$ を用いて $a_n$ だけの漸化式に直す。

解法1

時刻 $n+1$ に部屋 $A$ にいるのは、次の2通りである。

時刻 $n$ に部屋 $A$ にいて、確率 $\dfrac{9}{10}$ で部屋 $A$ にとどまる場合。

時刻 $n$ に部屋 $B$ にいて、確率 $\dfrac{1}{15}$ で部屋 $A$ に移る場合。

したがって、

$$ a_{n+1}=\frac{9}{10}a_n+\frac{1}{15}b_n $$

である。ここで $a_n+b_n=1$ より $b_n=1-a_n$ だから、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=\frac{9}{10}a_n+\frac{1}{15}(1-a_n)\\ &=\left(\frac{9}{10}-\frac{1}{15}\right)a_n+\frac{1}{15}\\ &=\frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15} \end{aligned} $$

となる。

よって、空欄は

$$ \text{カ}=\frac{9}{10},\qquad \text{キ}=\frac{1}{15},\qquad \text{ク}=\frac{5}{6} $$

である。

次に、漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15} $$

を解く。

定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{5}{6}\alpha+\frac{1}{15} $$

より、

$$ \frac{1}{6}\alpha=\frac{1}{15} $$

であるから、

$$ \alpha=\frac{2}{5} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-\frac{2}{5} &= \frac{5}{6}\left(a_n-\frac{2}{5}\right) \end{aligned} $$

である。よって、数列 $\left\{a_n-\dfrac{2}{5}\right\}$ は公比 $\dfrac{5}{6}$ の等比数列である。

初期条件 $a_0=1$ より、

$$ a_0-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} $$

だから、

$$ \begin{aligned} a_n-\frac{2}{5} &= \frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ a_n=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n $$

となる。

次に、$a_n<b_n$ となる最小の自然数 $n$ を求める。

$a_n+b_n=1$ なので、

$$ a_n<b_n $$

は

$$ a_n<\frac{1}{2} $$

と同値である。よって、

$$ \frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{2} $$

を解けばよい。

両辺を整理すると、

$$ \frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{10} $$

であるから、

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{6} $$

を得る。

常用対数をとると、

$$ n\log_{10}\frac{5}{6}<\log_{10}\frac{1}{6} $$

である。ここで $\log_{10}\dfrac{5}{6}<0$ なので、不等号の向きに注意して、

$$ n>\frac{\log_{10}\frac{1}{6}}{\log_{10}\frac{5}{6}} $$

となる。

与えられた近似値より、

$$ \log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=0.30+0.48=0.78 $$

である。したがって、

$$ \log_{10}\frac{1}{6}=-0.78 $$

また、

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{5}{6} &= \log_{10}5-\log_{10}6 \\ 0.70-0.78 \\ -0.08 \end{aligned} $$

である。よって、

$$ n>\frac{-0.78}{-0.08}=9.75 $$

となる。

したがって、これを満たす最小の自然数は

$$ n=10 $$

である。

解説

この問題は、2状態の確率の遷移を漸化式で表す典型問題である。

重要なのは、$a_{n+1}$ を考えるときに「直前に部屋 $A$ にいた場合」と「直前に部屋 $B$ にいた場合」を分けて足し合わせることである。その後、$a_n+b_n=1$ を使えば、$a_n$ だけの一次漸化式に帰着できる。

また、$a_n<b_n$ は $a_n<\dfrac{1}{2}$ と言い換えられる。この変形を使うことで、最後は等比数列の不等式を対数で処理するだけになる。

答え

$$ \text{カ}=\frac{9}{10},\qquad \text{キ}=\frac{1}{15},\qquad \text{ク}=\frac{5}{6} $$

$$ \text{ケ}=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n $$

$$ \text{コ}=10 $$