数学B 数列･確率 問題 40 解説

方針・初手

袋の中の状態は、赤玉の個数によって $0,1,2,3$ 個の4通りだけである。したがって、操作Bによって赤玉の個数がどのように変化するかを調べればよい。

また、操作Aでは「赤玉3個」から始まる場合と「白玉3個」から始まる場合が同じ確率で起こる。さらに操作Bは赤白を入れ替えても同じ規則で進むので、赤白の対称性を利用する。

解法1

操作Aの直後は、確率 $\dfrac{1}{2}$ で赤玉3個、確率 $\dfrac{1}{2}$ で白玉3個である。

まず、操作Bを1回行ったときの状態を考える。

赤玉3個の状態からは、取り出す玉は必ず赤玉であるから、それを白玉1個に入れ替えて、赤玉2個・白玉1個となる。

白玉3個の状態からは、取り出す玉は必ず白玉であるから、それを赤玉1個に入れ替えて、赤玉1個・白玉2個となる。

したがって、

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad q_1=\frac{1}{2} $$

である。

次に、赤白の対称性を示す。操作Aでは、赤玉3個から始まる場合と白玉3個から始まる場合が同じ確率 $\dfrac{1}{2}$ で起こる。また、操作Bは「取り出した玉を反対の色に入れ替える」という操作であるから、赤と白の名前を入れ替えても規則は変わらない。

そのため、操作Bを何回行った後でも、赤玉2個・白玉1個である確率と、赤玉1個・白玉2個である確率は等しい。よって、

$$ p_n=q_n $$

である。

同様に、赤玉3個である状態と白玉3個である状態も赤白を入れ替えた関係にあるから、

$$ a_n=b_n $$

である。

これで、すべての自然数 $n$ に対して、

$$ p_n=q_n,\qquad a_n=b_n $$

が示された。

次に、$p_n$ を $p_{n-1}$ で表す。

操作Bによる状態の変化を考える。赤玉の個数だけに注目すると、次のようになる。

赤玉3個の状態からは、必ず赤玉2個・白玉1個の状態に移る。

赤玉1個・白玉2個の状態から赤玉2個・白玉1個の状態に移るには、白玉を取り出せばよい。この確率は $\dfrac{2}{3}$ である。

したがって、$n\geqq 2$ のとき、

$$ p_n=a_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1} $$

である。

ここで、すでに示した $p_{n-1}=q_{n-1}$ を用いると、

$$ p_n=a_{n-1}+\frac{2}{3}p_{n-1} $$

となる。

また、4つの状態の確率の和は1であり、$a_{n-1}=b_{n-1}$、$p_{n-1}=q_{n-1}$ だから、

$$ a_{n-1}+p_{n-1}+q_{n-1}+b_{n-1}=1 $$

より、

$$ 2a_{n-1}+2p_{n-1}=1 $$

である。したがって、

$$ a_{n-1}+p_{n-1}=\frac{1}{2} $$

であり、

$$ a_{n-1}=\frac{1}{2}-p_{n-1} $$

となる。

これを代入して、

$$ \begin{aligned} p_n &=\frac{1}{2}-p_{n-1}+\frac{2}{3}p_{n-1} \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}p_{n-1} \end{aligned} $$

である。よって、$n\geqq 2$ に対して、

$$ p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}p_{n-1} $$

が得られる。

最後に、この漸化式を解く。定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\alpha $$

であるから、

$$ \frac{4}{3}\alpha=\frac{1}{2} $$

より、

$$ \alpha=\frac{3}{8} $$

である。

したがって、

$$ p_n-\frac{3}{8} =-\frac{1}{3}\left(p_{n-1}-\frac{3}{8}\right) $$

となる。

また、

$$ p_1=\frac{1}{2} $$

だから、

$$ p_1-\frac{3}{8}=\frac{1}{8} $$

である。よって、

$$ p_n-\frac{3}{8} =\frac{1}{8}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

となる。

したがって、

$$ p_n=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

である。

解説

この問題では、袋の中にある玉の総数が常に3個であるため、状態は赤玉の個数だけで分類できる。つまり、赤玉が $0,1,2,3$ 個の4状態だけを追えばよい。

重要なのは、操作Aの時点で赤玉3個と白玉3個が同じ確率で現れ、その後の操作Bも赤白に対して対称である点である。この対称性により、$p_n=q_n$、$a_n=b_n$ が成り立つ。

その結果、4状態すべての漸化式を解く必要はなく、$p_n$ だけの1本の漸化式

$$ p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}p_{n-1} $$

に帰着できる。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad q_1=\frac{1}{2} $$

(2)

すべての自然数 $n$ に対して、

$$ p_n=q_n,\qquad a_n=b_n $$

である。

(3)

$n\geqq 2$ のとき、

$$ p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}p_{n-1} $$

である。

(4)

$$ p_n=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$