数学B 数列･確率 問題 39 解説

方針・初手

白いボールの位置だけに注目すればよい。白いボールが箱 A，B，C のどこにあるかを状態として、1回の試行後の移動を確率で表す。

箱 A と箱 C は初期状態および操作の構造が対称なので、常に $a_n=c_n$ となる。この対称性を使って漸化式を簡単にする。

解法1

$n$ 回の試行後、白いボールが箱 A，B，C に入っている確率をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ とする。最初、白いボールは箱 B にあるので、

$$ a_0=0,\quad b_0=1,\quad c_0=0 $$

である。

1回の試行で、表が出れば箱 A と箱 B のボールを交換し、裏が出れば箱 B と箱 C のボールを交換する。

白いボールが次に箱 A にあるのは、次の2通りである。

• もともと箱 A にあり、裏が出て動かない場合
• もともと箱 B にあり、表が出て箱 A に移る場合

したがって、

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n $$

である。

同様に、白いボールが次に箱 B にあるのは、もともと箱 A にあり表が出る場合、またはもともと箱 C にあり裏が出る場合であるから、

$$ b_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}c_n $$

である。

また、白いボールが次に箱 C にあるのは、もともと箱 B にあり裏が出る場合、またはもともと箱 C にあり表が出て動かない場合であるから、

$$ c_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}c_n $$

である。

初期状態では $a_0=c_0$ であり、上の漸化式も A と C について対称である。よって、すべての $n$ について

$$ a_n=c_n $$

が成り立つ。

そこで、

$$ a_n=c_n=x_n $$

とおく。確率の総和は常に $1$ だから、

$$ a_n+b_n+c_n=1 $$

より、

$$ 2x_n+b_n=1 $$

である。したがって、

$$ b_n=1-2x_n $$

である。

また、

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n $$

に $a_n=x_n,\ b_n=1-2x_n$ を代入すると、

$$ x_{n+1} =\frac{1}{2}x_n+\frac{1}{2}(1-2x_n) =\frac{1-x_n}{2} $$

となる。

つまり、

$$ x_{n+1}=-\frac{1}{2}x_n+\frac{1}{2} $$

である。この漸化式の定数解を求めると、

$$ x=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} $$

より、

$$ x=\frac{1}{3} $$

である。

したがって、

$$ x_{n+1}-\frac{1}{3} =-\frac{1}{2}\left(x_n-\frac{1}{3}\right) $$

となる。

初期値は $x_0=a_0=0$ であるから、

$$ x_0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} x_n-\frac{1}{3} &= \left(-\frac{1}{2}\right)^n \left(-\frac{1}{3}\right) \end{aligned} $$

となり、

$$ x_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n $$

である。

したがって、

$$ a_n=c_n=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} $$

である。

最後に、

$$ b_n=1-2x_n $$

より、

$$ \begin{aligned} b_n &= 1-\frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} \\ \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ b_n=\frac{1}{3}\left\{1+2\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} $$

となる。

解説

この問題は、赤いボール2個を区別する必要はない。白いボールがどの箱にあるかだけを追えば、状態数3の確率漸化式になる。

さらに、箱 A と箱 C は初期状態に対して対称であるため、$a_n=c_n$ とおける。この一手で、3つの確率を扱う問題が1つの漸化式に帰着する。

漸化式

$$ x_{n+1}=\frac{1-x_n}{2} $$

は、定数解 $\frac{1}{3}$ との差を取ることで等比数列になる。最終的には、白いボールの位置の確率はすべて $\frac{1}{3}$ に近づくが、$(-\frac{1}{2})^n$ が残るため、偶奇によって近づき方が交互に変わる。

答え

$$ a_n=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} $$

$$ b_n=\frac{1}{3}\left\{1+2\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} $$

$$ c_n=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} $$