数学B 数列･確率 問題 42 解説

方針・初手

点 $A$ にいる確率だけを追えばよい。点 $B$ と点 $C$ は、初期位置 $A$ に対して対称であるため、$n$ 回後に $B$ にいる確率と $C$ にいる確率は等しい。

したがって、$n$ 回後に $A$ にいる確率を $p_n$ とすると、$B,C$ にいる確率はいずれも

$$ \frac{1-p_n}{2} $$

である。この対称性を使って、$p_{n+1}$ を $p_n$ で表す。

解法1

初めに、$p_0=1$ である。

1回さいころを投げたとき、$A$ にとどまるのは $3,4,5,6$ の目が出た場合であるから、

$$ p_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

である。

次に、$p_2$ を求める。1回後に $A$ にいて、2回目に移動しない確率は

$$ \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{6} $$

である。

また、1回後に $B$ または $C$ にいて、2回目に $A$ に移動する場合を考える。1回後に $B$ にいる確率は $\frac{1}{6}$ であり、そこから $A$ に移動するには $2$ の目が出ればよい。同様に、1回後に $C$ にいる確率は $\frac{1}{6}$ であり、そこから $A$ に移動するには $1$ の目が出ればよい。

よって、

$$ \begin{aligned} p_2 &= \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{6} + \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。これを計算して、

$$ \begin{aligned} p_2 &= \frac{4}{9}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36} \\ \frac{4}{9}+\frac{1}{18} \\ \frac{9}{18} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

となる。

次に、$p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表す。

$n$ 回後に $A$ にいる確率は $p_n$ である。このとき、次に $A$ にとどまるには、$3,4,5,6$ のいずれかが出ればよいから、その確率は $\frac{4}{6}$ である。

したがって、$A$ から $A$ へ寄与する確率は

$$ p_n\cdot \frac{4}{6} $$

である。

一方、$n$ 回後に $B$ または $C$ にいる確率の和は $1-p_n$ である。$B$ から $A$ に戻るには $2$ の目、$C$ から $A$ に戻るには $1$ の目が出ればよく、どちらの場合も確率は $\frac{1}{6}$ である。

よって、$B,C$ から $A$ へ寄与する確率は

$$ (1-p_n)\cdot \frac{1}{6} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= p_n\cdot \frac{4}{6} + (1-p_n)\cdot \frac{1}{6} \end{aligned} $$

であり、整理すると

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}p_n \\ \frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

となる。

よって、漸化式は

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} $$

である。

この漸化式を解く。定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{6} $$

より、

$$ \alpha=\frac{1}{3} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{3} &= \frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right) \end{aligned} $$

となる。よって、数列 $p_n-\frac{1}{3}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$p_0=1$ より、

$$ \begin{aligned} p_0-\frac{1}{3} &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{3} &= \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、$A,B,C$ の3点すべてについて確率を追う必要はない。出発点が $A$ であり、移動規則が時計回り・反時計回りに対して対称なので、$B$ と $C$ にいる確率は常に等しい。

そのため、$A$ にいる確率を $p_n$ とおけば、$B,C$ にいる確率の和は $1-p_n$ で処理できる。これにより、状態が3つある確率問題を、1本の漸化式

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} $$

に落とし込める。

最後は、定数解 $\frac{1}{3}$ を引いて等比数列に直すのが典型的な処理である。

答え

(1)

$$ p_2=\frac{1}{2} $$

(2)

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} $$

(3)

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$