数学B 数列･確率 問題 43 解説

方針・初手

$b_n$ は

$$ b_n=a_1b_{n-1}+a_n $$

を満たす形であり、$7$ の倍数かどうかだけを考えればよい。最初の目 $a_1$ を固定すると、$a_1$ は $7$ と互いに素なので、$a_1$ の累乗倍は $1,2,\dots,6$ の剰余を並べ替えるだけである。この性質を使って、$7$ を法とする確率分布に帰着する。

解法1

まず、

$$ b_n=\sum_{k=1}^n a_1^{n-k}a_k $$

である。$a_1=m$ と固定する。ただし $m=1,2,\dots,6$ である。

このとき

$$ b_n=m^n+\sum_{k=2}^n m^{n-k}a_k $$

となる。$m$ は $7$ と互いに素であるから、各 $m^{n-k}a_k$ は、$a_k$ が $1,2,\dots,6$ を等確率で動くとき、$7$ を法として $1,2,\dots,6$ のいずれかを等確率でとる。

したがって、$X_1,X_2,\dots$ をそれぞれ $1,2,\dots,6$ のいずれかを等確率でとる独立な確率変数とすると、$b_n$ が $7$ の倍数となる確率は

$$ X_1+\cdots+X_{n-1}\equiv -m^n \pmod 7 $$

となる確率に等しい。ここで $-m^n$ は $7$ を法として $0$ ではない。

よって、$t$ 個の独立な確率変数 $X_1,\dots,X_t$ について

$$ S_t=X_1+\cdots+X_t $$

とおき、$S_t$ がある特定の $0$ でない剰余に等しくなる確率を $q_t$ とする。このとき

$$ p_n=q_{n-1} $$

である。

次に $q_t$ を求める。$S_t\equiv 0\pmod 7$ となる確率を $r_t$ とする。$S_t$ の分布は、$0$ でない剰余 $1,2,\dots,6$ について対称なので、

$$ r_t+6q_t=1 $$

が成り立つ。

また、$S_{t+1}=S_t+X_{t+1}$ であるから、$S_{t+1}$ が特定の $0$ でない剰余、たとえば $c$ になる確率を考える。

$X_{t+1}=c$ のときは $S_t\equiv 0$ が必要である。一方、$X_{t+1}\neq c$ のときは $S_t\equiv c-X_{t+1}$ であり、これは $0$ でない剰余である。このような $X_{t+1}$ は $5$ 通りある。

したがって

$$ q_{t+1}=\frac{r_t+5q_t}{6} $$

である。$r_t=1-6q_t$ を代入すると、

$$ q_{t+1}=\frac{1-6q_t+5q_t}{6} =\frac{1-q_t}{6} $$

となる。

初期値は、$S_0=0$ であるから、特定の $0$ でない剰余になる確率は

$$ q_0=0 $$

である。よって

$$ q_{t+1}-\frac17 =-\frac16\left(q_t-\frac17\right) $$

となるので、

$$ \begin{aligned} q_t-\frac17 &= \left(-\frac16\right)^t \left(q_0-\frac17\right) &= -\frac17\left(-\frac16\right)^t \end{aligned} $$

である。したがって

$$ q_t=\frac17\left\{1-\left(-\frac16\right)^t\right\} $$

を得る。

ここで $p_n=q_{n-1}$ であるから、

$$ p_n=\frac17\left\{1-\left(-\frac16\right)^{n-1}\right\} $$

である。

特に、

$$ p_1=\frac17\left\{1-\left(-\frac16\right)^0\right\}=0 $$

であり、

$$ p_2=\frac17\left\{1-\left(-\frac16\right)^1\right\} =\frac17\cdot\frac76 =\frac16 $$

である。

解説

この問題の中心は、$b_n$ を直接数え上げるのではなく、$7$ を法とする剰余に落とし込むことである。

$a_1$ を固定すると、$a_1^{n-k}$ は $7$ の倍数ではないため、$a_k$ に掛けても $1,2,\dots,6$ の剰余を並べ替えるだけである。したがって、後半は「$1$ から $6$ までの非零剰余を等確率で足していく問題」になる。

また、$0$ でない剰余はすべて対称であるため、確率を「$0$ になる確率」と「特定の非零剰余になる確率」の $2$ 種類だけで管理できる。ここに気づけば、漸化式

$$ q_{t+1}=\frac{1-q_t}{6} $$

が自然に出る。

答え

(1)

$$ p_1=0,\qquad p_2=\frac16 $$

(2)

$$ p_n=\frac17\left\{1-\left(-\frac16\right)^{n-1}\right\} $$