数学B 数列･確率 問題 47 解説

方針・初手

箱の中身の状態は、全体として赤玉2個・白玉2個で一定である。したがって、操作後の状態は次の2種類だけを考えればよい。

• 両方の箱に赤玉・白玉が1個ずつ入っている状態
• 一方の箱に赤玉2個、もう一方の箱に白玉2個が入っている状態

求める確率 $p_n$ は前者の状態である確率なので、1回の操作でこの状態がどう遷移するかを調べる。

解法1

まず、箱A、Bのどちらにも赤玉・白玉が1個ずつ入っている状態を「良い状態」と呼ぶ。このとき、箱Aから取り出す玉と箱Bから取り出す玉の色の組合せを考える。

両方の箱がともに赤玉・白玉1個ずつなので、取り出す2個の玉の色が同じである確率は

$$ \frac{1}{2} $$

であり、取り出す2個の玉の色が異なる確率も

$$ \frac{1}{2} $$

である。

取り出した玉の色が同じなら、交換して戻しても各箱の中身は赤玉・白玉1個ずつのままである。一方、取り出した玉の色が異なれば、一方の箱に赤玉2個、もう一方の箱に白玉2個が入る状態になる。

したがって、良い状態から次も良い状態である確率は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

次に、一方の箱に赤玉2個、もう一方の箱に白玉2個が入っている状態を考える。このとき、赤玉2個の箱からは必ず赤玉を取り出し、白玉2個の箱からは必ず白玉を取り出す。これらを交換して戻すと、どちらの箱にも赤玉・白玉が1個ずつ入る。

したがって、この状態から次に良い状態になる確率は

$$ 1 $$

である。

よって、$n$ 回後に良い状態である確率を $p_n$ とすると、$n+1$ 回後に良い状態である確率は

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{2}p_n+1\cdot(1-p_n) \end{aligned} $$

である。整理して

$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n $$

を得る。

最初は両方の箱に赤玉・白玉が1個ずつ入っているので

$$ p_0=1 $$

である。

したがって

$$ p_1=1-\frac{1}{2}p_0 =1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2} $$

である。

また

$$ p_2=1-\frac{1}{2}p_1 =1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4} $$

である。

次に、漸化式

$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n $$

を解く。定数解を $\alpha$ とすると

$$ \alpha=1-\frac{1}{2}\alpha $$

より

$$ \frac{3}{2}\alpha=1 $$

だから

$$ \alpha=\frac{2}{3} $$

である。

そこで、漸化式から $\frac{2}{3}$ を引くと

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{2}{3} &= -\frac{1}{2}\left(p_n-\frac{2}{3}\right) \end{aligned} $$

となる。よって数列 $p_n-\frac{2}{3}$ は公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$p_0=1$ だから

$$ \begin{aligned} p_0-\frac{2}{3} &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{2}{3} &= \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、箱Aと箱Bを個別に細かく追うよりも、「両方の箱が赤白1個ずつであるかどうか」だけに注目するとよい。全体の赤玉・白玉の個数は常に変わらないため、状態は実質的に2種類しかない。

良い状態からは、同じ色を交換すれば良い状態のまま、異なる色を交換すれば崩れる。一方で、崩れた状態からは必ず良い状態に戻る。この非対称な遷移を正確に押さえることが、漸化式を立てる核心である。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad p_2=\frac{3}{4} $$

(2)

$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n $$

(3)

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$