数学B 数列･確率 問題 48 解説

方針・初手

点 $C,D$ は対称であるため，個別に区別せず「$C$ または $D$ にいる確率」としてまとめる。まず $P_n$ が $A,B,C\text{または}D,E$ にある確率の漸化式を作り，そこから $P_n$ が $A$ または $B$ にある確率 $p_n$ を求める。

また，(2) では「途中で $E$ に到達しない」という条件が加わるため，$E$ に入る経路を除いた確率を別に数え，最後に (1) の確率で割ればよい。

解法1

時刻 $n$ において，$P_n$ がそれぞれ $A,B,C\text{または}D,E$ にある確率を

$$ a_n,\ b_n,\ c_n,\ e_n $$

とおく。ただし $c_n$ は $C$ または $D$ にある確率の和である。

初期条件は

$$ a_1=1,\quad b_1=0,\quad c_1=0,\quad e_1=0 $$

である。

点のつながりから，次の漸化式を得る。

$$ \begin{aligned} a_{n+1}&=\frac13 b_n,\\ b_{n+1}&=a_n+\frac12 c_n,\\ c_{n+1}&=\frac23 b_n+e_n,\\ e_{n+1}&=\frac12 c_n. \end{aligned} $$

このグラフは二部グラフであり，奇数番目では $A,C,D$ 側，偶数番目では $B,E$ 側にいる。したがって，$p_n$ は

$$ p_{2m+1}=a_{2m+1},\quad p_{2m}=b_{2m} $$

として求めればよい。

まず奇数番目の $a_{2m+1}$ を求める。上の漸化式から，2ステップごとに見ると

$$ a_{2m+3}=\frac13 b_{2m+2} $$

であり，計算を整理すると

$$ a_{2m+3}-\frac15=\frac16\left(a_{2m+1}-\frac15\right) $$

となる。初期値 $a_1=1$ より，

$$ a_{2m+1}=\frac15+\frac45\left(\frac16\right)^m $$

である。

したがって，

$$ p_{2m+1}=\frac15+\frac{4}{5\cdot 6^m} \quad (m=0,1,2,\dots) $$

である。

次に偶数番目について，$b_2=1$ であり，同様に2ステップごとに見ると

$$ b_{2m+2}-\frac35=\frac16\left(b_{2m}-\frac35\right) $$

となる。よって，

$$ b_{2m}=\frac35+\frac25\left(\frac16\right)^{m-1} \quad (m=1,2,3,\dots) $$

である。

したがって，

$$ p_{2m}=\frac35+\frac{2}{5\cdot 6^{m-1}} \quad (m=1,2,3,\dots) $$

である。

次に (2) を考える。$P_1,\dots,P_n$ のいずれも $E$ でなく，かつ $P_n$ が $A$ または $B$ にある確率を $r_n$ とおく。このとき求める条件付き確率は

$$ q_n=\frac{r_n}{p_n} $$

である。

$E$ に入る経路を除いて考える。時刻 $n$ において，$E$ にまだ到達していないという条件のもとで，$A,B,C\text{または}D$ にいる確率をそれぞれ

$$ \alpha_n,\ \beta_n,\ \gamma_n $$

とおく。ただし $\gamma_n$ は $C$ または $D$ にいる確率の和である。

初期条件は

$$ \alpha_1=1,\quad \beta_1=0,\quad \gamma_1=0 $$

である。

$C,D$ からは確率 $\frac12$ で $E$ に進むが，これは除外するため，残る漸化式は

$$ \begin{aligned} \alpha_{n+1}&=\frac13\beta_n,\\ \beta_{n+1}&=\alpha_n+\frac12\gamma_n,\\ \gamma_{n+1}&=\frac23\beta_n. \end{aligned} $$

この場合も奇数番目では $A,C,D$ 側，偶数番目では $B$ 側にいる。したがって，

$$ r_{2m+1}=\alpha_{2m+1},\quad r_{2m}=\beta_{2m} $$

である。

まず偶数番目については，

$$ \beta_2=1 $$

であり，2ステップごとに $B$ に戻る確率は $\frac23$ 倍になる。よって，

$$ r_{2m}=\beta_{2m}=\left(\frac23\right)^{m-1} \quad (m=1,2,3,\dots) $$

である。

したがって，

$$ \begin{aligned} q_{2m} &= \frac{\left(\frac23\right)^{m-1}}{\frac35+\frac{2}{5\cdot 6^{m-1}}} \\ \frac{5\cdot 4^{m-1}}{3\cdot 6^{m-1}+2} \quad (m=1,2,3,\dots) \end{aligned} $$

である。

次に奇数番目については，$n=1$ のときは明らかに $q_1=1$ である。

$m\geq 1$ のとき，

$$ \begin{aligned} r_{2m+1} &= \alpha_{2m+1} \\ \frac13\left(\frac23\right)^{m-1} \end{aligned} $$

である。よって，

$$ \begin{aligned} q_{2m+1} &= \frac{\frac13\left(\frac23\right)^{m-1}}{\frac15+\frac{4}{5\cdot 6^m}} \\ \frac{5\cdot 2^{2m-1}}{6^m+4} \quad (m=1,2,3,\dots) \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では，$C$ と $D$ を別々に扱うと状態数が増えて見通しが悪くなる。$C,D$ は完全に対称なので，「$C$ または $D$」としてまとめるのが自然である。

また，グラフが二部グラフであることを使うと，奇数番目と偶数番目で存在しうる点が分かれる。そのため，$P_n$ が $A$ または $B$ にある確率は，奇数番目では $A$ にいる確率，偶数番目では $B$ にいる確率として求めればよい。

(2) では条件付き確率なので，直接条件付き確率の漸化式を立てるよりも，まず「途中で $E$ に到達せず，かつ最後に $A$ または $B$ にいる確率」を求め，それを (1) の確率で割る方が安全である。

答え

(1)

$n=2m+1\ (m=0,1,2,\dots)$ のとき

$$ \begin{aligned} p_{2m+1} &= \frac15+\frac{4}{5\cdot 6^m} \end{aligned} $$

である。

$n=2m\ (m=1,2,3,\dots)$ のとき

$$ \begin{aligned} p_{2m} &= \frac35+\frac{2}{5\cdot 6^{m-1}} \end{aligned} $$

である。

(2)

$$ q_1=1 $$

である。

$n=2m\ (m=1,2,3,\dots)$ のとき

$$ \begin{aligned} q_{2m} &= \frac{5\cdot 4^{m-1}}{3\cdot 6^{m-1}+2} \end{aligned} $$

である。

$n=2m+1\ (m=1,2,3,\dots)$ のとき

$$ \begin{aligned} q_{2m+1} &= \frac{5\cdot 2^{2m-1}}{6^m+4} \end{aligned} $$

である。