数学B 数列の和 問題 2 解説

方針・初手

条件 $a_i+b_i=n+1$ から、各 $i$ について $b_i=n+1-a_i$ と表せる。したがって、求める和は $b_i$ を消去して $a_i$ だけの式に直す。

$a_1,a_2,\ldots,a_n$ は $1,2,\ldots,n$ の並べ替えなので、和を取るときには $a_i$ を単に $1,2,\ldots,n$ として扱えばよい。

解法1

条件より、

$$ b_i=n+1-a_i $$

である。したがって、

$$ a_i-2b_i=a_i-2(n+1-a_i)=3a_i-2(n+1) $$

となる。

よって、求める和は

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n (a_i-2b_i)^2 &= \sum_{i=1}^n {3a_i-2(n+1)}^2 \end{aligned} $$

である。

ここで $a_1,a_2,\ldots,a_n$ は $1,2,\ldots,n$ の並べ替えだから、

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n {3a_i-2(n+1)}^2 &= \sum_{k=1}^n {3k-2(n+1)}^2 \end{aligned} $$

とできる。

これを展開すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n {3k-2(n+1)}^2 &= \sum_{k=1}^n \left\{9k^2-12(n+1)k+4(n+1)^2\right\} \\ &= 9\sum_{k=1}^n k^2 -12(n+1)\sum_{k=1}^n k +4n(n+1)^2 \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} 9\sum_{k=1}^n k^2 -12(n+1)\sum_{k=1}^n k +4n(n+1)^2 &= 9\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -12(n+1)\cdot \frac{n(n+1)}{2} +4n(n+1)^2 \\ &= \frac{3}{2}n(n+1)(2n+1) -6n(n+1)^2 +4n(n+1)^2 \\ &= n(n+1)\left\{\frac{3}{2}(2n+1)-2(n+1)\right\} \\ &= n(n+1)\left(3n+\frac{3}{2}-2n-2\right) \\ &= n(n+1)\left(n-\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{n(n+1)(2n-1)}{2} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \sum_{i=1}^n (a_i-2b_i)^2=\frac{n(n+1)(2n-1)}{2} $$

である。

解説

この問題では、$a_i$ と $b_i$ がともに $1,2,\ldots,n$ の並べ替えであることよりも、条件 $a_i+b_i=n+1$ によって $b_i$ が $a_i$ で一意に決まることが重要である。

$b_i=n+1-a_i$ として代入すれば、求める式は $a_i$ だけの式になる。その後、$a_i$ は $1,2,\ldots,n$ の並べ替えなので、和の値は並べ方に依存しない。

つまり、この問題は順列そのものを調べる問題ではなく、並べ替えによって和が変わらないことを利用して、基本的な和の公式に帰着する問題である。

答え

$$ \boxed{\frac{n(n+1)(2n-1)}{2}} $$