数学B 数列の和 問題 3 解説

方針・初手

分母が $\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$ の形なので、有理化して差の形に直す。隣り合う項が打ち消し合う形になれば、和は簡単に求まる。

解法1

各項について、分母を有理化する。

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} \end{aligned} $$

分母は平方差より、

$$ (\sqrt{k+1})^2-(\sqrt{k})^2=(k+1)-k=1 $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k} $$

となる。

よって、与えられた和は

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \end{aligned} $$

である。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} &(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\ &= -\sqrt{1}+\sqrt{n+1} \end{aligned} $$

となる。

$\sqrt{1}=1$ より、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sqrt{n+1}-1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、分母の $\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$ を見て有理化を行い、

$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $$

という差の形に変形することである。

この形にすると、和を取ったときに中間の項がすべて打ち消し合う。いわゆる望遠和であり、数列の和の典型的な処理である。

答え

$$ \boxed{\sqrt{n+1}-1} $$