数学B 数列の和 問題 4 解説

方針・初手

関係式

$$ b_n=\frac{1}{s_n}\sum_{j=1}^n a_jc_j $$

は、両辺に $s_n$ をかけて

$$ b_ns_n=\sum_{j=1}^n a_jc_j $$

と見るのがよい。これを $n$ と $n+1$ で比較すると、$c_{n+1}$ と $s_n$ の関係が得られる。

解法1

まず、$n=1$ のとき

$$ b_1=\frac{a_1c_1}{c_1}=a_1 $$

である。したがって、等差数列の公差より

$$ a_n=a_1+(n-1)d,\qquad b_n=a_1+(n-1)rd $$

と表せる。

ここで

$$ T_n=\sum_{j=1}^n a_jc_j $$

とおくと、条件は

$$ T_n=b_ns_n $$

である。また、

$$ T_{n+1}=T_n+a_{n+1}c_{n+1},\qquad s_{n+1}=s_n+c_{n+1} $$

であるから、

$$ b_{n+1}s_{n+1}=b_ns_n+a_{n+1}c_{n+1} $$

となる。

$s_{n+1}=s_n+c_{n+1}$ を代入すると、

$$ b_{n+1}(s_n+c_{n+1})=b_ns_n+a_{n+1}c_{n+1} $$

よって

$$ (b_{n+1}-b_n)s_n=(a_{n+1}-b_{n+1})c_{n+1} $$

である。

ここで、$b_{n+1}-b_n=rd$ であり、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-b_{n+1} &= (a_1+nd)-(a_1+nrd) \\ nd(1-r) \end{aligned} $$

である。したがって

$$ rd,s_n=nd(1-r)c_{n+1} $$

となる。$d>0,\ 0<r<1,\ n\geqq 1$ より割ってよいので、

$$ c_{n+1}=\frac{rs_n}{n(1-r)} $$

が得られる。

次に、$r=\dfrac34$ とする。このとき、上で得た式より

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &= \frac{\frac34}{n\left(1-\frac34\right)}s_n \\ \frac{3s_n}{n} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ s_{n+1}=s_n+c_{n+1} =s_n+\frac{3s_n}{n} =\frac{n+3}{n}s_n $$

となる。

$s_1=c_1$ であるから、$n\geqq 2$ に対して

$$ \begin{aligned} s_n &= \frac{4}{1}\cdot\frac{5}{2}\cdots\frac{n+2}{n-1}c_1 \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} s_n &= \frac{4\cdot5\cdots(n+2)}{1\cdot2\cdots(n-1)}c_1 \\ \frac{n(n+1)(n+2)}{6}c_1 \end{aligned} $$

となる。

よって、$n\geqq 2$ のとき

$$ \begin{aligned} c_n &= \frac{3s_{n-1}}{n-1} \\ \frac{3}{n-1}\cdot\frac{(n-1)n(n+1)}{6}c_1 \\ \frac{n(n+1)}{2}c_1 \end{aligned} $$

である。

また、$n=1$ のときも

$$ \frac{n(n+1)}{2}c_1=c_1 $$

となり成り立つ。したがって、すべての $n\geqq 1$ に対して

$$ \frac{c_n}{c_1}=\frac{n(n+1)}{2} $$

である。

解説

この問題の中心は、平均の形をした条件式をそのまま扱わず、

$$ b_ns_n=\sum_{j=1}^n a_jc_j $$

と変形して、$n$ と $n+1$ の差を取ることである。

特に、$n=1$ から $a_1=b_1$ が分かる点が重要である。これにより、$a_{n+1}-b_{n+1}$ が簡単に計算でき、

$$ a_{n+1}-b_{n+1}=nd(1-r) $$

となる。

$r=\dfrac34$ の場合は、得られた漸化式が

$$ c_{n+1}=\frac{3s_n}{n} $$

となり、$s_n$ の漸化式に直すことで積の形に帰着できる。

答え

(1)

$$ c_{n+1}=\frac{rs_n}{n(1-r)} $$

(2)

$r=\dfrac34$ のとき

$$ \frac{c_n}{c_1}=\frac{n(n+1)}{2} $$