数学B 数列の和 問題 13 解説

方針・初手

各項は $k2^{k-1}$ と表せるので、

$$ S=\sum_{k=1}^{n}k2^{k-1} $$

である。係数に $k$ がついている等比型の和なので、$S$ と $2S$ をずらして引く方法が有効である。

解法1

求める和を

$$ S=1+2\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^{n-1} $$

とおく。

両辺を $2$ 倍すると、

$$ 2S=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n $$

である。ここで $2S-S$ を考える。項をそろえて引くと、

$$ \begin{aligned} 2S-S &=\left(2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\right) \\ &\quad-\left(1+2\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^{n-1}\right) \end{aligned} $$

となる。

各次数の係数を整理すると、$2^1,2^2,\ldots,2^{n-1}$ の係数はすべて $-1$ になり、最後に $n2^n$ が残る。したがって、

$$ S=-1-2-2^2-\cdots-2^{n-1}+n2^n $$

である。

ここで

$$ 1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1 $$

だから、

$$ \begin{aligned} S &=n2^n-(2^n-1) \\ &=(n-1)2^n+1 \end{aligned} $$

を得る。

解法2

一般に、等比数列の和

$$ 1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} $$

を微分して利用する。

両辺を $x$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} &= \frac{(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^2} \end{aligned} $$

である。

求める和は左辺に $x=2$ を代入したものだから、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{(n+1)2^n(2-1)-(2^{n+1}-1)}{(2-1)^2} \\ &=(n+1)2^n-2^{n+1}+1 \\ &=(n-1)2^n+1 \end{aligned} $$

となる。

解説

係数に $1,2,3,\ldots,n$ が現れる等比型の和は、単なる等比数列の和では処理できない。そこで、和を $2$ 倍して項をずらし、差を取ることで係数部分を消すのが標準的な方針である。

解法1は高校数学で最も自然な処理であり、入試解答としても使いやすい。解法2は微分を使うため簡潔だが、等比数列の和の微分を正しく扱う必要がある。

答え

$$ S=(n-1)2^n+1 $$