数学B 数列の和 問題 14 解説

方針・初手

等差数列では、離れた2項の差から公差を求めるのが最短である。まず $a_9-a_4$ を考え、そこから初項 $a_1$ と和を求める。

解法1

等差数列 ${a_n}$ の公差を $d$ とする。

等差数列では、添字が $5$ 増えると項は $5d$ だけ増えるので、

$$ a_9-a_4=5d $$

である。条件より $a_4=174,\ a_9=419$ だから、

$$ 419-174=5d $$

$$ 245=5d $$

したがって、

$$ d=49 $$

である。

次に初項 $a_1$ を求める。$a_4=a_1+3d$ より、

$$ 174=a_1+3\cdot 49 $$

$$ 174=a_1+147 $$

よって、

$$ a_1=27 $$

である。

求める和は、

$$ \sum_{k=1}^{9}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_9 $$

であり、等差数列の和の公式から、

$$ \sum_{k=1}^{9}a_k=\frac{9}{2}(a_1+a_9) $$

である。したがって、

$$ \sum_{k=1}^{9}a_k=\frac{9}{2}(27+419) $$

$$ =\frac{9}{2}\cdot 446 $$

$$ =9\cdot 223 $$

$$ =2007 $$

となる。

解説

等差数列では、2つの項が分かっているとき、その添字の差に注目すれば公差が直接求められる。この問題では $a_4$ と $a_9$ の添字の差が $5$ なので、$a_9-a_4=5d$ とするのが基本である。

和については、初項を求めてから

$$ \frac{n}{2}(a_1+a_n) $$

を使えばよい。今回は $n=9$ であり、末項 $a_9$ はすでに与えられているため、計算量は少ない。

答え

$$ [エ]=49 $$

$$ [オ]=2007 $$