数学B 数列の和 問題 16 解説

方針・初手

等差数列なので、まず初項と末項の関係から公差を求める。

(2) は分母を有理化すると、$\sqrt{a_n}$ の差が現れる。等差数列であることにより $a_n-a_{n+1}$ が一定になるため、和が望遠和になる。

解法1

公差を $d$ とする。

等差数列の一般項は

$$ a_n=p+(n-1)d $$

である。末項が $q$、項数が $m$ であるから、

$$ a_m=p+(m-1)d=q $$

より、

$$ d=\frac{q-p}{m-1} $$

である。

次に、求める和を

$$ S=\sum_{n=1}^{m-1}\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}} $$

とおく。

各項を有理化すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}} &= \frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}}{a_n-a_{n+1}} \end{aligned} $$

となる。

ここで、等差数列の公差は

$$ d=\frac{q-p}{m-1} $$

であるから、

$$ a_n-a_{n+1}=-d=\frac{p-q}{m-1} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}} &= \frac{m-1}{p-q}\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}\right) \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{m-1}{p-q} \sum_{n=1}^{m-1} \left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}\right)\\ &= \frac{m-1}{p-q} \left(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_m}\right) \end{aligned} $$

である。

$a_1=p,\ a_m=q$ より、

$$ S= \frac{m-1}{p-q} \left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right) $$

となる。さらに

$$ p-q=(\sqrt{p}-\sqrt{q})(\sqrt{p}+\sqrt{q}) $$

であるから、

$$ S=\frac{m-1}{\sqrt{p}+\sqrt{q}} $$

である。

解説

この問題の中心は、分母の $\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}$ を有理化して、$\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}$ の形を作ることである。

等差数列では $a_n-a_{n+1}$ が一定なので、有理化後の係数がすべて同じになる。その結果、

$$ (\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})+(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3})+\cdots+(\sqrt{a_{m-1}}-\sqrt{a_m}) $$

の中間項が打ち消され、最初と最後だけが残る。

答え

(1)

$$ \frac{q-p}{m-1} $$

(2)

$$ \frac{m-1}{\sqrt{p}+\sqrt{q}} $$