数学B 数列の和 問題 15 解説

方針・初手

$S_n$ は初項 $1$，公比 $2$ の等比数列の和である。まず $S_n$ を $n$ の式で表し，それを2つの条件式に代入して整理する。

解法1

$S_n$ は

$$ S_n=1+2+2^2+\cdots+2^{n-1} $$

であるから，等比数列の和の公式より

$$ S_n=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1 $$

である。

まず，

$$ S_n^2+2S_n+1=2^{80} $$

について考える。左辺は平方完成できて，

$$ S_n^2+2S_n+1=(S_n+1)^2 $$

である。ここで $S_n=2^n-1$ より，

$$ S_n+1=2^n $$

だから，

$$ (S_n+1)^2=(2^n)^2=2^{2n} $$

となる。したがって

$$ 2^{2n}=2^{80} $$

であり，指数を比較して

$$ 2n=80 $$

となる。よって

$$ n=40 $$

である。

次に，

$$ S_1+S_2+\cdots+S_n+60=2S_n $$

について考える。$S_k=2^k-1$ なので，

$$ S_1+S_2+\cdots+S_n =(2^1-1)+(2^2-1)+\cdots+(2^n-1) $$

である。これをまとめると，

$$ S_1+S_2+\cdots+S_n =(2+2^2+\cdots+2^n)-n $$

となる。等比数列の和より

$$ 2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-2 $$

だから，

$$ S_1+S_2+\cdots+S_n=2^{n+1}-2-n $$

である。

これを条件式に代入すると，

$$ 2^{n+1}-2-n+60=2S_n $$

である。また $S_n=2^n-1$ より，

$$ 2S_n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2 $$

である。したがって，

$$ 2^{n+1}-2-n+60=2^{n+1}-2 $$

となる。両辺から $2^{n+1}-2$ を引くと，

$$ -n+60=0 $$

より，

$$ n=60 $$

である。

解説

この問題の中心は，$S_n$ をそのまま扱わず，

$$ S_n=2^n-1 $$

と表すことである。

前半は $S_n^2+2S_n+1$ が $(S_n+1)^2$ になることに気づけば，$S_n+1=2^n$ から指数比較だけで終わる。

後半は $S_1+\cdots+S_n$ を直接計算する必要がある。各 $S_k$ を $2^k-1$ として足し合わせると，指数部分が $2+2^2+\cdots+2^n$ になり，定数部分から $-n$ が出る。この $-n$ が最後に残り，$n=60$ が得られる。

答え

$$ [ア]=40,\qquad [イ]=60 $$