数学B 数列の和 問題 19 解説

方針・初手

$a$ を固定して考える。条件は

$$ a \leq b \leq n,\qquad a<c\leq n $$

であるから、$a$ が決まれば $b,c$ の選び方は独立に数えられる。

解法1

(1)

まず $n=3$ の場合を直接数える。

$a=1$ のとき、

$$ 1\leq b\leq 3,\qquad 2\leq c\leq 3 $$

である。したがって、$b$ は $3$ 通り、$c$ は $2$ 通りなので、組は

$$ 3\cdot 2=6 $$

通りである。

$a=2$ のとき、

$$ 2\leq b\leq 3,\qquad c=3 $$

である。したがって、組は

$$ 2\cdot 1=2 $$

通りである。

$a=3$ のとき、$3<c\leq 3$ を満たす自然数 $c$ は存在しないので、組は $0$ 通りである。

よって、求める個数は

$$ 6+2+0=8 $$

である。

(2)

一般の自然数 $n$ について考える。

$a$ を固定する。条件

$$ 1\leq a\leq b\leq n,\qquad 1\leq a<c\leq n $$

より、$b$ は

$$ a,a+1,\dots,n $$

の $n-a+1$ 通りである。

また、$c$ は

$$ a+1,a+2,\dots,n $$

の $n-a$ 通りである。

したがって、固定した $a$ に対する組 $(a,b,c)$ の個数は

$$ (n-a+1)(n-a) $$

である。

$a$ は $1$ から $n$ まで動くので、求める個数は

$$ \sum_{a=1}^{n}(n-a+1)(n-a) $$

である。ここで $k=n-a$ とおくと、$a=1$ のとき $k=n-1$、$a=n$ のとき $k=0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{a=1}^{n}(n-a+1)(n-a) &= \sum_{k=0}^{n-1}(k+1)k \end{aligned} $$

となる。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1}(k+1)k &= \sum_{k=0}^{n-1}(k^2+k) \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1}(k^2+k) &= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} \end{aligned} $$

となる。通分して整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} &= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{3(n-1)n}{6} \\ &= \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} \\ &= \frac{n(n-1)(n+1)}{3} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める個数は

$$ \frac{n(n-1)(n+1)}{3} $$

である。

解説

この問題では、$a$ を基準にして $b,c$ の範囲が決まる点が重要である。

$b$ は $a$ 以上でよく、$c$ は $a$ より大きくなければならない。この違いにより、固定した $a$ に対して $b$ は $n-a+1$ 通り、$c$ は $n-a$ 通りになる。

特に $a=n$ のときは $c$ が存在しないため $0$ 通りになる。この場合も和の中では自然に含まれている。

答え

(1)

$$ 8 $$

(2)

$$ \frac{n(n-1)(n+1)}{3} $$