数学B 数列の和 問題 20 解説

方針・初手

$S_n$ は $1$ から $n$ までの和なので、等差数列の和の公式を用いる。

また、$S_n$ の $1$ の位が $0$ であることは、$S_n$ が $10$ の倍数であることと同じである。したがって、

$$ S_n=\frac{n(n+1)}{2} $$

について、これが $10$ の倍数となる $n$ を調べる。

解法1

$1$ から $n$ までの和は、初項 $1$、末項 $n$、項数 $n$ の等差数列の和であるから、

$$ S_n=\frac{n(n+1)}{2} $$

である。

したがって、

$$ S_{20}=\frac{20\cdot 21}{2}=210 $$

である。

次に、$S_n$ の $1$ の位が $0$ である条件を考える。これは

$$ \frac{n(n+1)}{2}\equiv 0 \pmod{10} $$

であることと同値である。

すなわち、

$$ n(n+1)\equiv 0 \pmod{20} $$

を満たせばよい。

$n$ を $20$ で割った余りで調べる。$S_n$ の $1$ の位は $n$ を $20$ で割った余りによって周期的に決まるので、$n=1,2,\dots,20$ について確認する。

$$ \begin{aligned} S_1&=1,\\ S_2&=3,\\ S_3&=6,\\ S_4&=10,\\ S_5&=15,\\ S_6&=21,\\ S_7&=28,\\ S_8&=36,\\ S_9&=45,\\ S_{10}&=55,\\ S_{11}&=66,\\ S_{12}&=78,\\ S_{13}&=91,\\ S_{14}&=105,\\ S_{15}&=120,\\ S_{16}&=136,\\ S_{17}&=153,\\ S_{18}&=171,\\ S_{19}&=190,\\ S_{20}&=210 \end{aligned} $$

この中で $1$ の位が $0$ であるのは、

$$ n=4,15,19,20 $$

である。

よって、$20$ 個ごとに条件を満たす $n$ は $4$ 個ある。

ここで、

$$ 2009=20\cdot 100+9 $$

である。

$1$ から $2000$ までには $20$ 個のまとまりが $100$ 個あるので、条件を満たす $n$ は

$$ 4\cdot 100=400 $$

個ある。

残りの $2001$ から $2009$ までについては、$20$ で割った余りが $1,2,\dots,9$ の場合を見ればよい。この中で条件を満たすのは余り $4$ の場合だけである。

したがって、追加で $1$ 個ある。

よって、求める個数は

$$ 400+1=401 $$

である。

解説

この問題では、まず $S_n$ を三角数

$$ S_n=\frac{n(n+1)}{2} $$

として表すことが基本である。

そのうえで、$1$ の位だけを考えるので、$10$ を法とする周期性を利用する。ただし、式に $\frac{1}{2}$ が含まれるため、直接 $10$ で割った余りを考えるよりも、

$$ n(n+1)\equiv 0 \pmod{20} $$

として扱うと条件が整理しやすい。

また、$S_n$ の $1$ の位は $20$ 周期になるので、$n=1$ から $20$ までを調べれば十分である。

答え

$$ S_n=\frac{n(n+1)}{2} $$

$$ S_{20}=210 $$

$$ 401 $$