数学B 数列の和 問題 21 解説

方針・初手

第 $k$ 項は $k(N+1-k)$ と表せる。したがって、和を

$$ \sum_{k=1}^{N} k(N+1-k) $$

として、基本的な和の公式に帰着させる。

解法1

求める和を $S$ とおくと、

$$ S=1\cdot N+2(N-1)+3(N-2)+\cdots+N\cdot 1 $$

である。

第 $k$ 項は $k(N+1-k)$ だから、

$$ S=\sum_{k=1}^{N} k(N+1-k) $$

となる。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} S &=\sum_{k=1}^{N}{k(N+1)-k^2} \\ &=(N+1)\sum_{k=1}^{N}k-\sum_{k=1}^{N}k^2 \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \sum_{k=1}^{N}k=\frac{N(N+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{N}k^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} S &=(N+1)\cdot \frac{N(N+1)}{2} -\frac{N(N+1)(2N+1)}{6} \\ &=\frac{N(N+1)}{6}{3(N+1)-(2N+1)} \\ &=\frac{N(N+1)}{6}(N+2) \\ &=\frac{N(N+1)(N+2)}{6} \end{aligned} $$

となる。

解法2

組合せで考える。

$1,2,\ldots,N+2$ から異なる $3$ 個の数を選ぶとする。選んだ $3$ 個を小さい順に並べたとき、中央の数を $k+1$ とする。

このとき、中央より小さい数は $1,2,\ldots,k$ の $k$ 個、中央より大きい数は $k+2,k+3,\ldots,N+2$ の $N+1-k$ 個である。

したがって、中央の数が $k+1$ である選び方は

$$ k(N+1-k) $$

通りである。

中央の数は $2,3,\ldots,N+1$ を取りうるので、$k=1,2,\ldots,N$ として合計すると、

$$ 1\cdot N+2(N-1)+3(N-2)+\cdots+N\cdot 1 $$

になる。

一方、$N+2$ 個から $3$ 個を選ぶ総数は

$$ {}_{N+2}C_3=\frac{(N+2)(N+1)N}{6} $$

である。

よって、

$$ 1\cdot N+2(N-1)+3(N-2)+\cdots+N\cdot 1 =\frac{N(N+1)(N+2)}{6} $$

である。

解説

この和は、各項をそのまま計算しようとすると規則が見えにくい。第 $k$ 項を $k(N+1-k)$ と表すことが重要である。

標準的には、解法1のように

$$ \sum k,\qquad \sum k^2 $$

に分解して処理するのが確実である。解法2の組合せによる考え方は、結果が ${}_{N+2}C_3$ になる理由を構造的に説明している。

答え

$$ \frac{N(N+1)(N+2)}{6} $$