数学B 数列の和 問題 27 解説

方針・初手

部分和 $S_n$ が与えられているので、一般項は

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

で求める。ただし $a_1=S_1$ であることに注意する。偶数番目の項の和は、求めた一般項に $n=2k$ を代入して和をとればよい。

解法1

まず、初項は

$$ a_1=S_1=1^3+1^2+1=3 $$

である。

$n\geqq 2$ のとき、

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

より、

$$ \begin{aligned} a_n &=(n^3+n^2+n)-{(n-1)^3+(n-1)^2+(n-1)}\\ &=(n^3+n^2+n)-{n^3-2n^2+2n-1}\\ &=3n^2-n+1 \end{aligned} $$

となる。

この式に $n=1$ を代入すると

$$ 3\cdot 1^2-1+1=3 $$

となり、初項 $a_1=3$ と一致する。したがって、すべての正の整数 $n$ について

$$ a_n=3n^2-n+1 $$

である。

次に、偶数番目の項の和を求める。$k=1,2,\ldots,n$ として、

$$ a_{2k}=3(2k)^2-2k+1=12k^2-2k+1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_2+a_4+\cdots+a_{2n} &=\sum_{k=1}^{n}(12k^2-2k+1)\\ &=12\sum_{k=1}^{n}k^2-2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1\\ &=12\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n\\ &=2n(n+1)(2n+1)-n(n+1)+n\\ &=n(n+1)(4n+1)+n\\ &=n(4n^2+5n+2) \end{aligned} $$

よって、

$$ a_2+a_4+\cdots+a_{2n}=n(4n^2+5n+2) $$

である。

解説

部分和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求める典型問題である。部分和とは「初項から第 $n$ 項までの和」なので、第 $n$ 項だけを取り出すには、$S_n$ から $S_{n-1}$ を引けばよい。

ただし、この方法は基本的には $n\geqq 2$ に対して成り立つため、初項 $a_1=S_1$ を別に確認する必要がある。今回は得られた式 $3n^2-n+1$ が $n=1$ でも成り立つので、そのまま一般項としてよい。

偶数番目の項の和では、$a_{2k}$ を作ってから $k=1$ から $n$ まで和をとるのが自然である。$a_2+a_4+\cdots+a_{2n}$ の最後の項は $a_{2n}$ なので、項数は $n$ 個である。

答え

(1)

$$ a_n=3n^2-n+1 $$

(2)

$$ a_2+a_4+\cdots+a_{2n}=n(4n^2+5n+2) $$