数学B 数列の和 問題 28 解説

方針・初手

部分和 $S_n$ が与えられているので、一般項は隣り合う部分和の差で求める。

$n \geqq 2$ では

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

を用いる。ただし、初項 $a_1$ は $S_1$ そのものである。

解法1

$n \geqq 2$ のとき、

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

である。

与えられた式より、

$$ S_n=n^2+n+1 $$

であり、

$$ S_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)+1 $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} S_{n-1} &=n^2-2n+1+n-1+1 \\ &=n^2-n+1 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} a_n &=S_n-S_{n-1} \\ &=(n^2+n+1)-(n^2-n+1) \\ &=2n \end{aligned} $$

よって、

$$ a_n=2n \quad (n \geqq 2) $$

である。

また、初項 $a_1$ は初項から第 $1$ 項までの和なので、

$$ a_1=S_1 $$

である。したがって、

$$ S_1=1^2+1+1=3 $$

より、

$$ a_1=3 $$

である。

解説

部分和 $S_n$ が与えられた数列では、$n \geqq 2$ の一般項は $S_n-S_{n-1}$ で求めるのが基本である。

ただし、$a_1$ だけは $S_1-S_0$ として処理するのではなく、$S_1=a_1$ として直接求める。この問題では、$n \geqq 2$ の式 $a_n=2n$ に $n=1$ を代入すると $2$ になるが、実際の初項は $3$ であるため、初項は別に扱う必要がある。

答え

$$ a_n=2n \quad (n \geqq 2) $$

$$ a_1=3 $$