数学B 数列の和 問題 30 解説

方針・初手

$a_k=2^{k-1}$ であるから，求める和は

$$ \sum_{k=1}^{n}k2^{k-1},\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2 2^{k-1} $$

である。等比数列に多項式 $k,\ k^2$ が掛かっているので，和全体を $2$ 倍して添字をずらし，差を取る。

解法1

(1)

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}k2^{k-1} $$

とおく。これを $2$ 倍すると

$$ 2S_n=\sum_{k=1}^{n}k2^k $$

である。右辺の添字を $j=k+1$ として書き直すと，

$$ 2S_n=\sum_{j=2}^{n+1}(j-1)2^{j-1} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} 2S_n-S_n &=\sum_{j=2}^{n+1}(j-1)2^{j-1}-\sum_{k=1}^{n}k2^{k-1} \\ &=n2^n-\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}. \end{aligned} $$

ここで

$$ \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=2^n-1 $$

より，

$$ S_n=n2^n-(2^n-1)=(n-1)2^n+1. $$

よって

$$ \sum_{k=1}^{n}ka_k=(n-1)2^n+1. $$

(2)

$$ T_n=\sum_{k=1}^{n}k^2 2^{k-1} $$

とおく。これを $2$ 倍して添字をずらすと，

$$ 2T_n=\sum_{j=2}^{n+1}(j-1)^2 2^{j-1} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} 2T_n-T_n &=n^2 2^n+\sum_{k=2}^{n}{(k-1)^2-k^2}2^{k-1}-1 \\ &=n^2 2^n+\sum_{k=2}^{n}(-2k+1)2^{k-1}-1. \end{aligned} $$

ここで

$$ \sum_{k=2}^{n}(-2k+1)2^{k-1} =-2\sum_{k=2}^{n}k2^{k-1}+\sum_{k=2}^{n}2^{k-1} $$

である。（1） の結果より

$$ \sum_{k=1}^{n}k2^{k-1}=(n-1)2^n+1 $$

だから，

$$ \sum_{k=2}^{n}k2^{k-1}=(n-1)2^n $$

である。また，

$$ \sum_{k=2}^{n}2^{k-1}=2^n-2 $$

である。よって

$$ \begin{aligned} T_n &=n^2 2^n-2(n-1)2^n+(2^n-2)-1 \\ &={n^2-2n+2+1}2^n-3 \\ &=(n^2-2n+3)2^n-3. \end{aligned} $$

したがって

$$ \sum_{k=1}^{n}k^2a_k=(n^2-2n+3)2^n-3. $$

解説

等比数列の和に $k$ や $k^2$ が掛かっている場合，通常の等比数列の和の公式をそのまま使うことはできない。

この型では，和を $2$ 倍してから添字をずらし，元の和との差を取るのが基本である。差を取ると，$k2^{k-1}$ 型では普通の等比数列の和に下がり，$k^2 2^{k-1}$ 型では $k2^{k-1}$ 型に下がる。

したがって，（2） は （1） の結果を利用して処理するのが自然である。

答え

(1)

$$ \sum_{k=1}^{n}ka_k=(n-1)2^n+1 $$

(2)

$$ \sum_{k=1}^{n}k^2a_k=(n^2-2n+3)2^n-3 $$