数学B 数列の和 問題 29 解説

方針・初手

部分和 $S_n$ が与えられているので、数列の第 $n$ 項 $a_n$ は

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

で求める。ただし、この式は $n\geqq 2$ のときに用いる。今回は「初項を除く項」が対象なので、$n\geqq 2$ で $a_n$ の最小値を調べればよい。

解法1

数列の第 $n$ 項を $a_n$ とする。

$n\geqq 2$ のとき、

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

であるから、

$$ a_n=(3n-25)^3-{3(n-1)-25}^3 $$

となる。ここで

$$ 3(n-1)-25=3n-28 $$

なので、

$$ a_n=(3n-25)^3-(3n-28)^3 $$

である。

ここで $x=3n-28$ とおくと、$3n-25=x+3$ であるから、

$$ a_n=(x+3)^3-x^3 $$

となる。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} a_n &=x^3+9x^2+27x+27-x^3 \\ &=9x^2+27x+27 \end{aligned} $$

である。$x=3n-28$ を戻すと、

$$ \begin{aligned} a_n &=9(3n-28)^2+27(3n-28)+27 \\ &=81n^2-1431n+6327 \end{aligned} $$

となる。

これは $n$ についての二次式であり、平方完成すると、

$$ \begin{aligned} a_n &=81n^2-1431n+6327 \\ &=81\left(n-\frac{53}{6}\right)^2+\frac{27}{4} \end{aligned} $$

である。

したがって、$a_n$ は $n=\dfrac{53}{6}$ に最も近い整数で最小になる。対象は $n\geqq 2$ の整数であり、

$$ \frac{53}{6}=8+\frac{5}{6} $$

だから、最も近い整数は $9$ である。

よって、初項を除く項の中で最小となるのは第 $9$ 項である。

その値は

$$ a_9=S_9-S_8 $$

より、

$$ \begin{aligned} a_9 &=(3\cdot 9-25)^3-(3\cdot 8-25)^3 \\ &=2^3-(-1)^3 \\ &=8+1 \\ &=9 \end{aligned} $$

である。

解説

部分和 $S_n$ が与えられた数列では、初項は $a_1=S_1$、第 $2$ 項以降は $a_n=S_n-S_{n-1}$ で求めるのが基本である。

この問題では「初項を除く」とあるため、$a_1$ を比較対象に入れてはいけない。実際、

$$ a_1=S_1=(3-25)^3=(-22)^3 $$

で非常に小さい値になるため、この条件を見落とすと誤答になる。

第 $2$ 項以降については、$a_n$ が $n$ の二次式になるので、放物線の頂点に最も近い整数を調べればよい。

答え

第 $9$ 項で最小となり、その値は

$$ 9 $$

である。