数学B 数列の和 問題 36 解説

方針・初手

$3$ で割り切れない正の整数は、$3$ 個ごとに見ると

$$ 1,2,\quad 4,5,\quad 7,8,\quad \cdots $$

のように、各組が

$$ 3k-2,\ 3k-1 \quad (k=1,2,3,\ldots) $$

と表せる。したがって、奇数番目と偶数番目を分けて考えるのが自然である。

解法1

まず、数列を $2$ 項ずつ組に分ける。

$$ (a_1,a_2)=(1,2),\quad (a_3,a_4)=(4,5),\quad (a_5,a_6)=(7,8),\quad \cdots $$

第 $m$ 組は、$3$ で割った余りが $1,2$ である数からなるので、

$$ (a_{2m-1},a_{2m})=(3m-2,\ 3m-1) $$

である。よって

$$ a_{2m}=3m-1 $$

となる。

次に、和 $S_n$ を求める。$n$ の偶奇で場合分けする。

(i)

$n=2m$ のとき

第 $m$ 組までをすべて足せばよいので、

$$ \begin{aligned} S_{2m} &=(1+2)+(4+5)+\cdots+{(3m-2)+(3m-1)} \\ &=\sum_{k=1}^{m}{(3k-2)+(3k-1)} \\ &=\sum_{k=1}^{m}(6k-3) \\ &=6\cdot \frac{m(m+1)}{2}-3m \\ &=3m^2 \end{aligned} $$

である。

したがって、$n=2m$ より $m=\dfrac{n}{2}$ であるから、

$$ S_n=\frac{3n^2}{4} $$

となる。

(ii)

$n=2m-1$ のとき

第 $m$ 組のうち、前半の項 $a_{2m-1}=3m-2$ までを足せばよい。よって

$$ S_{2m-1}=S_{2m}-a_{2m} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_{2m-1} &=3m^2-(3m-1) \\ &=3m^2-3m+1 \end{aligned} $$

である。

$n=2m-1$ より $m=\dfrac{n+1}{2}$ だから、

$$ \begin{aligned} S_n &=3\left(\frac{n+1}{2}\right)^2-3\left(\frac{n+1}{2}\right)+1 \\ &=\frac{3(n+1)^2-6(n+1)+4}{4} \\ &=\frac{3n^2+1}{4} \end{aligned} $$

となる。

以上より、

$$ S_n= \begin{cases} \dfrac{3n^2}{4} & (n \text{ が偶数})\\[6pt] \dfrac{3n^2+1}{4} & (n \text{ が奇数}) \end{cases} $$

である。

最後に、$S_n\geqq 600$ となる最小の正の整数 $n$ を求める。

$n=28$ は偶数なので、

$$ S_{28}=\frac{3\cdot 28^2}{4}=588 $$

であり、まだ $600$ に届かない。

次に $n=29$ は奇数なので、

$$ S_{29}=\frac{3\cdot 29^2+1}{4} =\frac{2523+1}{4} =631 $$

である。

したがって、$S_n\geqq 600$ となる最小の正の整数は

$$ n=29 $$

である。

解説

この問題では、「$3$ で割り切れない正の整数」は $3$ 個ごとに $2$ 個ずつ現れることに気づくのが要点である。

数列を

$$ (1,2),\ (4,5),\ (7,8),\ \ldots $$

のように $2$ 項ずつ組にすると、第 $m$ 組が $(3m-2,\ 3m-1)$ と表せるため、偶数番目の項や部分和が処理しやすくなる。

特に $S_n$ は、最後の項が組の終わりまで含まれるかどうかで形が変わるため、$n$ の偶奇による場合分けが必要である。

答え

(1)

$$ a_{2m}=3m-1 $$

(2)

$$ S_n= \begin{cases} \dfrac{3n^2}{4} & (n \text{ が偶数})\\[6pt] \dfrac{3n^2+1}{4} & (n \text{ が奇数}) \end{cases} $$

(3)

$$ n=29 $$