数学B 数列の和 問題 37 解説

方針・初手

分母 $1+2+\cdots+k$ を三角数の公式で表し、各項を部分分数分解する。すると和が望ましい形に消える。

解法1

$k$ 番目の項の分母は

$$ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+2+\cdots+k} &= \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} \\ \frac{2}{k(k+1)} \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ A=\sum_{k=1}^{25}\frac{2}{k(k+1)} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} \frac{2}{k(k+1)} &= 2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \end{aligned} $$

と部分分数分解できるので、

$$ \begin{aligned} A &=2\left\{\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{25}-\frac{1}{26}\right)\right\}\\ &=2\left(1-\frac{1}{26}\right)\\ &=2\cdot\frac{25}{26}\\ &=\frac{25}{13} \end{aligned} $$

解説

この問題では、分母が $1+2+\cdots+k$ という和の形で与えられているため、まず三角数の公式

$$ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} $$

に直すのが初手である。

その後、$\frac{2}{k(k+1)}$ を

$$ 2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) $$

と分解すれば、隣り合う項が打ち消し合う。これは数列の和で頻出の望ましい形の和である。

答え

$$ A=\frac{25}{13} $$