数学B 数列の和 問題 43 解説

方針・初手

対数の和は積の対数にまとめられる。符号 $(-1)^n$ により、偶数番目の項は分子、奇数番目の項は分母に入ると考える。

解法1

与えられた和は

$$ S=\sum_{n=1}^{18}(-1)^n\log_{10}{(n+1)(n+2)} $$

である。

$n$ が奇数のとき $(-1)^n=-1$、$n$ が偶数のとき $(-1)^n=1$ であるから、

$$ S=\log_{10}\frac{3\cdot4\cdot5\cdot6\cdots19\cdot20}{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots18\cdot19} $$

となる。

ここで、分子と分母の共通部分 $3,4,\ldots,19$ がすべて約分されるので、

$$ \frac{3\cdot4\cdot5\cdots19\cdot20}{2\cdot3\cdot4\cdots18\cdot19} =\frac{20}{2}=10 $$

である。

したがって、

$$ S=\log_{10}10=1 $$

となる。

解説

この問題は、対数の性質

$$ \log a+\log b=\log ab,\qquad -\log a=\log\frac{1}{a} $$

を用いて、和を積の形に直すことが核心である。

各項を直接計算しようとすると手間がかかるが、偶数番目と奇数番目で分子・分母に分けると、ほとんどの因数が消える。交代和の形を見たら、隣り合う項の打ち消しを確認するのが有効である。

答え

$$ [ケ]=1 $$