数学B 数列の和 問題 44 解説

方針・初手

$a_n=\left[\dfrac{2}{3}n\right]$ は、$n$ を $3$ で割った余りによって規則的に変化する。したがって、$a_{3q+1},a_{3q+2},a_{3q+3}$ の $3$ 個をひとまとまりとして扱うのが自然である。

解法1

整数 $q \geqq 0$ に対して、連続する $3$ 項を考えると、

$$ \begin{aligned} a_{3q+1} &=\left[\frac{2(3q+1)}{3}\right] =\left[2q+\frac{2}{3}\right] =2q,\\ a_{3q+2} &=\left[\frac{2(3q+2)}{3}\right] =\left[2q+\frac{4}{3}\right] =2q+1,\\ a_{3q+3} &=\left[\frac{2(3q+3)}{3}\right] =\left[2q+2\right] =2q+2. \end{aligned} $$

したがって、$a_n$ は

$$ 0,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ \cdots $$

というように、$3$ 項ごとに

$$ 2q,\quad 2q+1,\quad 2q+2 $$

の形で並ぶ。

(1)

$a_1$ から $a_6$ までは、

$$ \begin{aligned} a_1&=\left[\frac{2}{3}\right]=0,\\ a_2&=\left[\frac{4}{3}\right]=1,\\ a_3&=\left[2\right]=2,\\ a_4&=\left[\frac{8}{3}\right]=2,\\ a_5&=\left[\frac{10}{3}\right]=3,\\ a_6&=\left[4\right]=4. \end{aligned} $$

よって、求める $6$ つの項は

$$ 0,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4 $$

である。

(2)

和

$$ \sum_{k=3n-2}^{3n} a_k $$

は、$a_{3n-2},a_{3n-1},a_{3n}$ の $3$ 項の和である。

ここで、$q=n-1$ とすると、

$$ \begin{aligned} a_{3n-2} &=a_{3(n-1)+1} =2(n-1) =2n-2,\\ a_{3n-1} &=a_{3(n-1)+2} =2(n-1)+1 =2n-1,\\ a_{3n} &=2n. \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=3n-2}^{3n} a_k &=(2n-2)+(2n-1)+2n\\ &=6n-3. \end{aligned} $$

(3)

$1$ から $3n$ までを、次のように $3$ 項ずつ区切る。

$$ (a_1+a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6)+\cdots+(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}) $$

(2) より、$j$ 番目のまとまりは

$$ a_{3j-2}+a_{3j-1}+a_{3j}=6j-3 $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{3n} a_k &=\sum_{j=1}^{n}(6j-3)\\ &=6\sum_{j=1}^{n}j-3n\\ &=6\cdot \frac{n(n+1)}{2}-3n\\ &=3n(n+1)-3n\\ &=3n^2. \end{aligned} $$

(4)

今度は $k a_k$ の和であるから、同じく $3$ 項ずつ区切る。

$j$ 番目のまとまりについて、

$$ \begin{aligned} & (3j-2)a_{3j-2}+(3j-1)a_{3j-1}+3j a_{3j} \\ &=(3j-2)(2j-2)+(3j-1)(2j-1)+3j\cdot 2j. \end{aligned} $$

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} (3j-2)(2j-2) &=6j^2-10j+4,\\ (3j-1)(2j-1) &=6j^2-5j+1,\\ 3j\cdot 2j &=6j^2. \end{aligned} $$

したがって、$j$ 番目のまとまりは

$$ 18j^2-15j+5 $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{3n} k a_k &=\sum_{j=1}^{n}(18j^2-15j+5)\\ &=18\sum_{j=1}^{n}j^2-15\sum_{j=1}^{n}j+5n\\ &=18\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-15\cdot \frac{n(n+1)}{2}+5n\\ &=3n(n+1)(2n+1)-\frac{15}{2}n(n+1)+5n\\ &=\frac{n(12n^2+3n+1)}{2}. \end{aligned} $$

解説

床関数を含む数列では、まず中身が整数をまたぐ周期を調べるのが基本である。この問題では $\dfrac{2}{3}n$ の分母が $3$ なので、$n$ を $3$ で割った余りによって $a_n$ の形が決まる。

特に、

$$ a_{3q+1}=2q,\quad a_{3q+2}=2q+1,\quad a_{3q+3}=2q+2 $$

と整理できるため、$3$ 項ずつまとめれば和が簡単に計算できる。(3) は (2) の結果をそのまま利用できる問題であり、(4) も同じブロック分けに $k$ を掛けるだけで処理できる。

答え

(1)

$$ a_1=0,\quad a_2=1,\quad a_3=2,\quad a_4=2,\quad a_5=3,\quad a_6=4 $$

(2)

$$ \sum_{k=3n-2}^{3n} a_k=6n-3 $$

(3)

$$ \sum_{k=1}^{3n} a_k=3n^2 $$

(4)

$$ \sum_{k=1}^{3n} k a_k=\frac{n(12n^2+3n+1)}{2} $$