数学B 数列の和 問題 49 解説

方針・初手

共通部分 $A\cap B$ の要素は、$4$ で割ると $1$ 余り、かつ $7$ で割ると $2$ 余る数である。

したがって、合同式

$$ x\equiv 1 \pmod{4},\qquad x\equiv 2 \pmod{7} $$

を満たす $1$ 以上 $200$ 以下の自然数を求めればよい。

解法1

まず、$7$ で割ると $2$ 余る数は

$$ 2,\ 9,\ 16,\ 23,\ 30,\ \cdots $$

である。このうち $4$ で割ると $1$ 余るものを探すと、最初に条件を満たす数は $9$ である。

また、$4$ と $7$ の最小公倍数は $28$ であるから、同じ余りの条件を満たす数は $28$ ごとに現れる。よって、$A\cap B$ の要素は

$$ 9,\ 37,\ 65,\ 93,\ 121,\ 149,\ 177,\ \cdots $$

である。

$200$ 以下で最大のものを調べる。一般に

$$ 9+28k\leqq 200 $$

を満たす整数 $k\geqq 0$ を考えると、

$$ 28k\leqq 191 $$

より、

$$ k\leqq 6 $$

である。したがって最大の要素は

$$ 9+28\cdot 6=177 $$

である。

よって、$A\cap B$ の要素を小さい順に $a_1,a_2,a_3,\cdots$ とおくと、

$$ a_1=9,\qquad d=28 $$

であるから、公差 $28$ の等差数列である。

また、$k=0,1,2,\ldots,6$ の $7$ 個が $200$ 以下に入るので、項数は $7$ である。

一般項は

$$ a_n=9+28(n-1) $$

であるから、

$$ a_n=28n-19 $$

となる。

最後に、数列 ${a_n}$ の項をすべて加えると、初項 $9$、末項 $177$、項数 $7$ の等差数列の和なので、

$$ \frac{7(9+177)}{2}=651 $$

である。

解説

この問題では、$A\cap B$ の条件を「$4$ で割ると $1$ 余り、$7$ で割ると $2$ 余る数」と読み替えることが重要である。

一度条件を満たす最小の数 $9$ を見つけると、$4$ と $7$ の最小公倍数 $28$ ごとに同じ余りの条件が繰り返される。したがって、$A\cap B$ の要素は等差数列として扱える。

答え

$$ \text{キ}=9,\qquad \text{ク}=177,\qquad \text{ケ}=28,\qquad \text{コ}=7 $$

$$ \text{サ}=28,\qquad \text{シ}=-19,\qquad \text{ス}=651 $$