数学B 数列の和 問題 50 解説

方針・初手

同じ半径の $k$ 個の円が円 $C_1$ に内接し、隣り合う円どうしが外接しているので、各円の中心は円 $C_1$ と同心の円周上に並ぶ。

まず、円 $C_1$ の半径を $1$、円 $P_1$ 群の各円の半径を $r_1$ とし、隣り合う2つの小円の中心間距離が $2r_1$ であることから $r_1$ を求める。

解法1

円 $C_1$ の中心を $O$ とする。円 $P_1$ 群の各円は円 $C_1$ に内接しているので、それぞれの中心は $O$ から距離 $1-r_1$ の位置にある。

隣り合う2つの小円の中心を $A,B$ とすると、中心角は

$$ \angle AOB=\frac{2\pi}{k} $$

である。また、隣り合う2つの小円は外接しているから、

$$ AB=2r_1 $$

である。

三角形 $OAB$ に余弦定理を用いると、

$$ AB^2=(1-r_1)^2+(1-r_1)^2-2(1-r_1)^2\cos\frac{2\pi}{k} $$

より、

$$ (2r_1)^2=2(1-r_1)^2\left(1-\cos\frac{2\pi}{k}\right) $$

である。

(1)

$k=4$ のとき、

$$ 1-\cos\frac{2\pi}{4}=1-\cos\frac{\pi}{2}=1 $$

であるから、

$$ 4r_1^2=2(1-r_1)^2 $$

となる。$r_1>0$ より、

$$ 2r_1=\sqrt{2}(1-r_1) $$

したがって、

$$ (2+\sqrt{2})r_1=\sqrt{2} $$

である。よって、

$$ r_1=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1 $$

である。

(2)

$A_k=1-\cos\dfrac{2\pi}{k}$ とおくと、先ほどの式は

$$ 4r_1^2=2A_k(1-r_1)^2 $$

となる。$r_1>0$、$1-r_1>0$ なので、両辺の正の平方根を取ると、

$$ 2r_1=\sqrt{2A_k}(1-r_1) $$

である。これを $r_1$ について解くと、

$$ 2r_1=\sqrt{2A_k}-\sqrt{2A_k}r_1 $$

より、

$$ (2+\sqrt{2A_k})r_1=\sqrt{2A_k} $$

したがって、

$$ r_1=\frac{\sqrt{2A_k}}{2+\sqrt{2A_k}} $$

である。

また、分子分母を $\sqrt{2}$ で割れば、

$$ r_1=\frac{\sqrt{A_k}}{\sqrt{2}+\sqrt{A_k}} $$

とも表せる。

(3)

円 $P_1$ 群の各円の半径は $r_1$ である。円 $C_2$ は、円 $P_1$ 群の円に外接する内側の円であるから、その半径は

$$ 1-2r_1 $$

である。

円 $P_1$ 群の円の半径と円 $C_2$ の半径が等しいとき、

$$ r_1=1-2r_1 $$

である。よって、

$$ 3r_1=1 $$

より、

$$ r_1=\frac{1}{3} $$

である。

一方、

$$ r_1=\frac{\sin\frac{\pi}{k}}{1+\sin\frac{\pi}{k}} $$

であるから、

$$ \frac{\sin\frac{\pi}{k}}{1+\sin\frac{\pi}{k}}=\frac{1}{3} $$

となる。これを解くと、

$$ 3\sin\frac{\pi}{k}=1+\sin\frac{\pi}{k} $$

より、

$$ 2\sin\frac{\pi}{k}=1 $$

したがって、

$$ \sin\frac{\pi}{k}=\frac{1}{2} $$

である。

$k\geq 3$ であるから $0<\dfrac{\pi}{k}\leq \dfrac{\pi}{3}$ であり、この範囲で

$$ \sin\frac{\pi}{k}=\frac{1}{2} $$

を満たすのは

$$ \frac{\pi}{k}=\frac{\pi}{6} $$

である。よって、

$$ k=6 $$

である。

(4)

以後、$k=6$ とする。このとき、円 $P_1$ 群の円の半径は

$$ r_1=\frac{1}{3} $$

である。また、円 $C_2$ の半径も

$$ 1-2r_1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} $$

である。

同じ操作を繰り返すので、円 $C_m$ の半径を $R_m$ とすると、

$$ R_1=1 $$

であり、各段階で半径は $\dfrac{1}{3}$ 倍になる。したがって、

$$ R_m=\left(\frac{1}{3}\right)^{m-1} $$

である。

円 $P_m$ 群の各円の半径は、円 $C_m$ の半径の $\dfrac{1}{3}$ 倍であるから、

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^m $$

である。

よって、円 $P_n$ 群には $6$ 個の円があり、それぞれの半径は $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ である。したがって、円 $P_n$ 群のすべての円の面積の総和 $S_n$ は

$$ S_n=6\pi\left\{\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}^2 $$

より、

$$ S_n=\frac{6\pi}{9^n} $$

である。

(5)

円 $P_1$ 群から円 $P_n$ 群までの面積の総和を $S$ とする。

(4)より、

$$ S_m=\frac{6\pi}{9^m} $$

であるから、

$$ S=\sum_{m=1}^{n}\frac{6\pi}{9^m} $$

である。これは初項 $\dfrac{6\pi}{9}$、公比 $\dfrac{1}{9}$ の等比数列の和である。

したがって、

$$ S=\frac{6\pi}{9}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^n}{1-\frac{1}{9}} $$

である。整理すると、

$$ S=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^n}{\frac{8}{9}} $$

より、

$$ S=\frac{3\pi}{4}\left(1-\frac{1}{9^n}\right) $$

である。

解説

この問題の中心は、隣り合う小円の中心と大円の中心で作る二等辺三角形に注目することである。隣り合う小円の中心角は $\dfrac{2\pi}{k}$ であり、中心間距離は外接条件から $2r_1$ になる。

また、円 $C_2$ の半径は、円 $C_1$ の半径から円 $P_1$ 群の円の直径を引いた

$$ 1-2r_1 $$

である。この関係を正しく立てることが、(3)以降の等比的な構造につながる。

$k=6$ のときは、円 $P_m$ 群の円の半径が毎回 $\dfrac{1}{3}$ 倍になっていくため、面積は毎回 $\dfrac{1}{9}$ 倍になる。したがって、(5)は等比数列の和として処理できる。

答え

(1)

$$ r_1=\sqrt{2}-1 $$

(2)

$$ r_1=\frac{\sqrt{2A_k}}{2+\sqrt{2A_k}} $$

または、

$$ r_1=\frac{\sqrt{A_k}}{\sqrt{2}+\sqrt{A_k}} $$

(3)

$$ k=6 $$

(4)

$$ S_n=\frac{6\pi}{9^n} $$

(5)

$$ S=\frac{3\pi}{4}\left(1-\frac{1}{9^n}\right) $$