数学B 数列の和 問題 57 解説

方針・初手

連続する自然数の和は、初項を $k$、項数を $n$ とおくと扱いやすい。ただし、$k$ は自然数、$n$ は $2$ 以上の整数である。

このとき和は

$$ k+(k+1)+\cdots+(k+n-1)=\frac{n(2k+n-1)}{2} $$

である。この形に直して、項数 $n$ の条件を調べる。

解法1

初項を $k$、項数を $n$ とすると、

$$ N=\frac{n(2k+n-1)}{2} $$

である。

（1）

$N=2020$ とすると、

$$ 2020=\frac{n(2k+n-1)}{2} $$

より、

$$ 4040=n(2k+n-1) $$

である。

また $k\geqq 1$ なので、

$$ 2k+n-1\geqq n+1 $$

である。したがって、

$$ 4040=n(2k+n-1)\geqq n(n+1) $$

となるから、

$$ n(n+1)\leqq 4040 $$

である。よって $n\leqq 63$ でよい。

ここで

$$ 4040=2^3\cdot 5\cdot 101 $$

だから、$63$ 以下の正の約数は

$$ 1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 10,\ 20,\ 40 $$

である。$n=1$ は「2個以上」という条件に合わないので除く。

式

$$ k=\frac{4040/n-n+1}{2} $$

を用いて調べる。

$n=2,4,10,20$ のときは、それぞれ $4040/n-n+1$ が奇数となるため、$k$ は整数にならない。

一方、

$$ n=5 $$

のとき、

$$ k=\frac{808-5+1}{2}=402 $$

であるから、

$$ 2020=402+403+404+405+406 $$

である。

また、

$$ n=8 $$

のとき、

$$ k=\frac{505-8+1}{2}=249 $$

であるから、

$$ 2020=249+250+251+252+253+254+255+256 $$

である。

さらに、

$$ n=40 $$

のとき、

$$ k=\frac{101-40+1}{2}=31 $$

であるから、

$$ 2020=31+32+\cdots+70 $$

である。

よって、求める表し方はこの $3$ 通りである。

（2）

$2^a$ が $2$ 個以上の連続する自然数の和で表せると仮定する。

初項を $k$、項数を $n$ とすると、

$$ 2^a=\frac{n(2k+n-1)}{2} $$

である。ただし、$k\geqq 1,\ n\geqq 2$ である。

(i)

$n$ が奇数のとき

$n$ は $2^a$ の約数である。ところが $n\geqq 2$ かつ $n$ は奇数なので、$n$ は $1$ より大きい奇数である。

しかし、$2^a$ の正の約数はすべて $2$ の累乗であり、$1$ より大きい奇数の約数をもたない。これは矛盾である。

(ii)

$n$ が偶数のとき

$n/2$ は整数であり、

$$ 2^a=\frac{n}{2}(2k+n-1) $$

と書ける。

このとき $n$ は偶数なので、$2k+n-1$ は奇数である。また $k\geqq 1,\ n\geqq 2$ より、

$$ 2k+n-1\geqq 3 $$

である。

したがって、$2^a$ は $1$ より大きい奇数の約数をもつことになる。これは $2^a$ の約数の性質に反する。

以上より、$2^a$ は $2$ 個以上の連続する自然数の和で表せない。

（3）

$2^a(2b+1)$ が連続する自然数の和で表せることを、実際に構成して示す。

ここで $b$ は自然数なので、$2b+1\geqq 3$ である。

(i)

$b\leqq 2^a-1$ のとき

次の $2b+1$ 個の連続する自然数を考える。

$$ 2^a-b,\ 2^a-b+1,\ \ldots,\ 2^a,\ \ldots,\ 2^a+b $$

$b\leqq 2^a-1$ より、

$$ 2^a-b\geqq 1 $$

なので、これらはすべて自然数である。

この和は、初項と末項の平均が $2^a$、項数が $2b+1$ だから、

$$ (2b+1)\cdot 2^a=2^a(2b+1) $$

である。

よって、この場合は $2^a(2b+1)$ を $2$ 個以上の連続する自然数の和で表せる。

(ii)

$b\geqq 2^a$ のとき

次の $2^{a+1}$ 個の連続する自然数を考える。

$$ b-2^a+1,\ b-2^a+2,\ \ldots,\ b+2^a $$

$b\geqq 2^a$ より、

$$ b-2^a+1\geqq 1 $$

なので、これらはすべて自然数である。

この和は、

$$ \frac{2^{a+1}{(b-2^a+1)+(b+2^a)}}{2} $$

である。したがって、

$$ \frac{2^{a+1}(2b+1)}{2}=2^a(2b+1) $$

となる。

よって、この場合も $2^a(2b+1)$ を $2$ 個以上の連続する自然数の和で表せる。

以上より、任意の自然数 $a,b$ について、$2^a(2b+1)$ は $2$ 個以上の連続する自然数の和で表せる。

解説

連続する自然数の和では、初項と項数を置いて

$$ N=\frac{n(2k+n-1)}{2} $$

と表すのが基本である。

特に重要なのは、$N$ が連続する自然数の和で表せるなら、$N$ は $1$ より大きい奇数の約数をもつ、という点である。したがって、$2$ の累乗は表せない。

逆に、$2^a(2b+1)$ のように $1$ より大きい奇数部分をもつ数は、奇数個の項で中央を $2^a$ にするか、偶数個の項で調整することにより、必ず連続する自然数の和として構成できる。

答え

(1)

$$ 2020=402+403+404+405+406 $$

$$ 2020=249+250+251+252+253+254+255+256 $$

$$ 2020=31+32+\cdots+70 $$

以上の $3$ 通り。

(2)

$2^a$ は $2$ 個以上の連続する自然数の和で表せない。

(3)

任意の自然数 $a,b$ について、$2^a(2b+1)$ は $2$ 個以上の連続する自然数の和で表せる。