数学B 数列の和 問題 56 解説

方針・初手

異なる $2$ 項の積の総和は、全体の和の平方から各項の平方和を引いて $2$ で割ると求められる。

すなわち、

$$ S_n=\sum_{1\leq i<j\leq n}a_i a_j =\frac{\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)^2-\sum_{k=1}^{n}a_k^2}{2} $$

を用いる。

解法1

数列 ${a_n}$ は初項 $1$、公差 $3$ の等差数列であるから、

$$ a_k=1+3(k-1)=3k-2 $$

である。

したがって、初項から第 $10$ 項までの和は、

$$ \sum_{k=1}^{10}a_k =\frac{10(1+28)}{2} =145 $$

である。

次に、各項の平方和を求める。第 $1$ 項から第 $10$ 項までは

$$ 1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ 19,\ 22,\ 25,\ 28 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{10}a_k^2 &=1^2+4^2+7^2+10^2+13^2+16^2+19^2+22^2+25^2+28^2 \\ &=1+16+49+100+169+256+361+484+625+784 \\ &=2845 \end{aligned} $$

よって、

$$ \begin{aligned} S_{10} &=\frac{145^2-2845}{2} \\ &=\frac{21025-2845}{2} \\ &=\frac{18180}{2} \\ &=9090 \end{aligned} $$

解説

異なる $2$ 項の積をすべて足す問題では、直接すべての組を列挙すると手間が大きい。

そこで、

$$ (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2 $$

を考える。この展開には、$a_i^2$ の項と、$a_i a_j$ が $2$ 回ずつ現れる項が含まれる。したがって、平方和を引いてから $2$ で割れば、異なる $2$ 項の積の総和だけが残る。

答え

$$ S_{10}=9090 $$