数学B 数列の和 問題 59 解説

方針・初手

漸化式を逐次加えることで、まず $a_n$ を求める。 その後、$a_n$ を「整数部分」と「小数部分」に分ける形に直し、床関数によって $b_n$ を決定する。

解法1

まず、初項から順に計算する。

$$ a_2=a_1-3\cdot1+\frac{1}{2^0} =-1-3+1=-3 $$

$$ a_3=a_2-3\cdot2+\frac{1}{2^1} =-3-6+\frac12=-\frac{17}{2} $$

したがって、

$$ b_2=\lfloor a_2\rfloor=-3 $$

また、

$$ -\frac{17}{2}=-9+\frac12 $$

より、

$$ b_3=-9 $$

次に一般項 $a_n$ を求める。漸化式

$$ a_{n+1}-a_n=-3n+\frac{1}{2^{n-1}} $$

を $n=1$ から $n-1$ まで加えると、

$$ a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}\left(-3k+\frac{1}{2^{k-1}}\right) $$

である。よって、

$$ a_n =-1-3\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k-1}} $$

となる。ここで、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}{2} $$

また、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k-1}} =1+\frac12+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}} =2\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right) $$

であるから、

$$ a_n =-1-\frac{3n(n-1)}{2}+2\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right) $$

すなわち、

$$ a_n=1-\frac{3n(n-1)}{2}-\frac{1}{2^{n-2}} $$

である。

次に、$n\geqq3$ のときの $b_n,c_n$ を求める。 $n(n-1)$ は連続する2整数の積なので偶数であり、

$$ 1-\frac{3n(n-1)}{2} $$

は整数である。また、$n\geqq3$ のとき

$$ 0<\frac{1}{2^{n-2}}<1 $$

である。

したがって、

$$ a_n =\left(1-\frac{3n(n-1)}{2}\right)-\frac{1}{2^{n-2}} $$

は、整数から $1$ 未満の正の数を引いた形である。よって、

$$ b_n=\left(1-\frac{3n(n-1)}{2}\right)-1 =-\frac{3n(n-1)}{2} $$

であり、

$$ c_n=a_n-b_n =1-\frac{1}{2^{n-2}} $$

となる。

最後に、

$$ d_n=\sum_{k=1}^{n}b_kc_k $$

を求める。 $k=1,2$ では $c_1=c_2=0$ であるから、和に寄与しない。したがって $k\geqq3$ の式を用いてよい。

$$ b_kc_k =-\frac{3k(k-1)}{2}\left(1-\frac{1}{2^{k-2}}\right) $$

より、

$$ d_n =-\frac32\sum_{k=1}^{n}k(k-1)\left(1-\frac{1}{2^{k-2}}\right) $$

である。これを

$$ d_n =-\frac32\left\{\sum_{k=1}^{n}k(k-1)-\sum_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{2^{k-2}}\right\} $$

と分ける。

まず、

$$ \sum_{k=1}^{n}k(k-1) =\sum_{k=1}^{n}(k^2-k) =\frac{n(n+1)(n-1)}{3} $$

である。

次に、

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{2^{k-2}} =4\sum_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{2^k} $$

を求める。公式

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k} =2-\frac{n+2}{2^n} $$

および

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{2^k} =6-\frac{n^2+4n+6}{2^n} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{2^k} &= \sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{2^k} \\ \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{2^k} &= 4-\frac{n^2+3n+4}{2^n} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{2^{k-2}} &= 16-\frac{n^2+3n+4}{2^{n-2}} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} d_n &=-\frac32\left\{ \frac{n(n+1)(n-1)}{3} &= 16+\frac{n^2+3n+4}{2^{n-2}} \right\} \\ &= -\frac{n(n+1)(n-1)}{2} +24 -\frac{3(n^2+3n+4)}{2^{n-1}}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ d_n =24-\frac{n^3-n}{2} -\frac{3(n^2+3n+4)}{2^{n-1}} $$

である。

解説

この問題では、$a_n$ の一般項を求めたあと、床関数の処理に移ることが重要である。

特に $n\geqq3$ では、

$$ a_n =\left(1-\frac{3n(n-1)}{2}\right)-\frac{1}{2^{n-2}} $$

と書ける。前半が整数で、後半が $0$ より大きく $1$ より小さい数であることから、整数部分が $1$ だけ下がる。この処理を誤ると $b_n$ がずれる。

また、$d_n$ では $b_kc_k$ に $k(k-1)$ と等比的な項が混ざるため、

$$ \sum k(k-1) $$

と

$$ \sum \frac{k(k-1)}{2^k} $$

に分けて計算するのが自然である。

答え

(1)

$$ a_2=-3,\qquad a_3=-\frac{17}{2},\qquad b_2=-3,\qquad b_3=-9 $$

(2)

$$ a_n=1-\frac{3n(n-1)}{2}-\frac{1}{2^{n-2}} $$

(3)

$n\geqq3$ のとき、

$$ b_n=-\frac{3n(n-1)}{2} $$

$$ c_n=1-\frac{1}{2^{n-2}} $$

(4)

$$ d_n =24-\frac{n^3-n}{2} -\frac{3(n^2+3n+4)}{2^{n-1}} $$