数学B 数列の和 問題 61 解説

方針・初手

${\alpha_n}$ は等差数列なので、まず一般項 $\alpha_n$ を求める。次に $b_n=\sin\alpha_n$ であり、$\alpha_n$ は $\dfrac{\pi}{30}$ ずつ増えるから、$b_n$ は $60$ 項ごとに周期をもつことを利用する。

解法1

${\alpha_n}$ は初項 $\dfrac{\pi}{3}$、公差 $\dfrac{\pi}{30}$ の等差数列であるから、

$$ \alpha_n=\frac{\pi}{3}+(n-1)\frac{\pi}{30} $$

である。

したがって、

$$ \alpha_{10} =\frac{\pi}{3}+9\cdot\frac{\pi}{30} =\frac{10\pi}{30}+\frac{9\pi}{30} =\frac{19\pi}{30} $$

である。

次に、

$$ b_n=\sin\alpha_n =\sin\left\{\frac{\pi}{3}+(n-1)\frac{\pi}{30}\right\} $$

である。$\sin x$ の周期は $2\pi$ であり、

$$ 60\cdot \frac{\pi}{30}=2\pi $$

だから、数列 ${b_n}$ は $60$ 項ごとに同じ値を繰り返す。

$2018$ について、

$$ 2018-1=2017=60\cdot 33+37 $$

であるから、

$$ \alpha_{2018} =\frac{\pi}{3}+2017\cdot\frac{\pi}{30} \equiv \frac{\pi}{3}+37\cdot\frac{\pi}{30} \pmod{2\pi} $$

である。よって、

$$ \alpha_{2018}\equiv \frac{10\pi}{30}+\frac{37\pi}{30} =\frac{47\pi}{30} \pmod{2\pi} $$

となる。したがって、

$$ b_{2018} =\sin\frac{47\pi}{30} =\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{15}\right) =-\cos\frac{\pi}{15} $$

である。

次に、和を求める。$60$ 項でちょうど一周期となり、1周期分の和は $0$ である。実際、正弦の等間隔な $60$ 個の値は円周上を一周するため、和は打ち消し合う。

また、

$$ 2018=60\cdot 33+38 $$

であるから、

$$ \sum_{k=1}^{2018}b_k =\sum_{k=1}^{38}b_k $$

である。

ここで、等差的に角が増える正弦の和の公式

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{N}\sin{a+(k-1)d} &= \frac{\sin\dfrac{Nd}{2}\sin\left\{a+\dfrac{(N-1)d}{2}\right\}}{\sin\dfrac{d}{2}} \end{aligned} $$

を用いる。

今回は

$$ a=\frac{\pi}{3},\qquad d=\frac{\pi}{30},\qquad N=38 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{38}b_k &= \frac{ \sin\left(38\cdot\frac{\pi}{60}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}+37\cdot\frac{\pi}{60}\right) }{ \sin\frac{\pi}{60} } \end{aligned} $$

となる。整理すると、

$$ 38\cdot\frac{\pi}{60}=\frac{19\pi}{30} $$

また、

$$ \begin{aligned} \frac{\pi}{3}+37\cdot\frac{\pi}{60} &= \frac{20\pi}{60}+\frac{37\pi}{60} \\ \frac{57\pi}{60} \\ \frac{19\pi}{20} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2018}b_k &= \frac{ \sin\dfrac{19\pi}{30}\sin\dfrac{19\pi}{20} }{ \sin\dfrac{\pi}{60} } \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$\alpha_n$ が等差数列であることから、$b_n=\sin\alpha_n$ は「角が一定ずつ増える正弦の数列」になる。

公差が $\dfrac{\pi}{30}$ なので、$60$ 項進むと角が $2\pi$ 増える。したがって ${b_n}$ は周期 $60$ の数列である。この周期性を使えば、$b_{2018}$ や $2018$ 項までの和を、余りの計算に帰着できる。

和については、$2018=60\cdot 33+38$ と分解し、$60$ 項分の和が $0$ であることを利用して、最初の $38$ 項の和だけを計算すればよい。

答え

⑥

$$ \frac{19\pi}{30} $$

⑦

$$ -\cos\frac{\pi}{15} $$

⑧

$$ \frac{ \sin\dfrac{19\pi}{30}\sin\dfrac{19\pi}{20} }{ \sin\dfrac{\pi}{60} } $$