数学B 数列の和 問題 63 解説

方針・初手

各変量について、平均値は

$$ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i $$

で求める。分散は

$$ s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2 $$

を用い、共分散は

$$ s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i y_i-\bar{x}\bar{y} $$

を用いる。

ここでは

$$ x_i=i,\qquad y_i=i^2,\qquad z_i=2^i $$

であるから、自然数の和、平方和、立方和、等比数列の和を順に使えばよい。

解法1

まず、変量 $y$ の平均値を求める。

$$ \bar{y} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2 =\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{(n+1)(2n+1)}{6} $$

よって

$$ \boxed{\text{ア}=(n+1)(2n+1)} $$

である。

次に、変量 $z$ の平均値を求める。等比数列の和より、

$$ \sum_{i=1}^n 2^i=2(2^n-1) $$

であるから、

$$ \bar{z} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 2^i =\frac{2(2^n-1)}{n} $$

よって

$$ \boxed{\text{イ}=2^n-1} $$

である。

次に、変量 $x$ の分散を求める。$x_i=i$ であるから、

$$ \bar{x} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i =\frac{n+1}{2} $$

また、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2 \\ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} s_x^2 &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2 \\ &=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\left(\frac{n+1}{2}\right)^2 \\ &=\frac{2(n+1)(2n+1)-3(n+1)^2}{12} \\ &=\frac{(n+1){2(2n+1)-3(n+1)}}{12} \\ &=\frac{(n+1)(n-1)}{12} \\ &=\frac{n^2-1}{12} \end{aligned} $$

よって

$$ \boxed{\text{ウ}=n^2-1} $$

である。

次に、変量 $z$ の分散を求める。

$$ \begin{aligned} s_z^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i^2-\bar{z}^2 \end{aligned} $$

であり、$z_i=2^i$ より $z_i^2=4^i$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n 4^i &= \frac{4(4^n-1)}{3} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i^2 &= \frac{4(4^n-1)}{3n} \end{aligned} $$

となる。また、

$$ \begin{aligned} \bar{z} &= \frac{2(2^n-1)}{n} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} s_z^2 &= \frac{4(4^n-1)}{3n} &= \left\{\frac{2(2^n-1)}{n}\right\}^2 \\ &= \frac{4(4^n-1)}{3n} &= \frac{4(2^n-1)^2}{n^2} \end{aligned} $$

ここで $4^n-1=(2^n-1)(2^n+1)$ を用いると、

$$ \begin{aligned} s_z^2 &= \frac{4(2^n-1)(2^n+1)}{3n} &= \frac{4(2^n-1)^2}{n^2} \\ &= \frac{4(2^n-1)}{3n^2} {n(2^n+1)-3(2^n-1)} \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ \boxed{\text{エ}=n(2^n+1)-3(2^n-1)} $$

である。

これは展開して

$$ \text{エ}=(n-3)2^n+n+3 $$

としてもよい。

次に、変量 $x$ と変量 $y$ の共分散を求める。

$$ \begin{aligned} s_{xy} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i y_i-\bar{x}\bar{y} \end{aligned} $$

であり、$x_i=i,\ y_i=i^2$ より $x_i y_i=i^3$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i y_i &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^3 \\ \frac{1}{n}\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 \\ \frac{n(n+1)^2}{4} \end{aligned} $$

また、

$$ \bar{x}=\frac{n+1}{2},\qquad \bar{y}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} s_{xy} &= \frac{n(n+1)^2}{4} &= \frac{n+1}{2}\cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= \frac{n(n+1)^2}{4} &= \frac{(n+1)^2(2n+1)}{12} \\ &= \frac{(n+1)^2{3n-(2n+1)}}{12} \\ &= \frac{(n+1)^2(n-1)}{12} \end{aligned} $$

よって

$$ \boxed{\text{オ}=(n+1)^2(n-1)} $$

である。

最後に、変量 $x$ と変量 $z$ の共分散を求める。

$$ \begin{aligned} s_{xz} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i z_i-\bar{x}\bar{z} \end{aligned} $$

であり、$x_i=i,\ z_i=2^i$ より $x_i z_i=i2^i$ である。

ここで

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n i2^i &= 2+(n-1)2^{n+1} \end{aligned} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i z_i &= \frac{2+(n-1)2^{n+1}}{n} \end{aligned} $$

また、

$$ \bar{x}=\frac{n+1}{2},\qquad \bar{z}=\frac{2(2^n-1)}{n} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \bar{x}\bar{z} &= \frac{n+1}{2}\cdot \frac{2(2^n-1)}{n} \\ \frac{(n+1)(2^n-1)}{n} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} s_{xz} &= \frac{2+(n-1)2^{n+1}}{n} &= \frac{(n+1)(2^n-1)}{n} \\ &= \frac{2+2(n-1)2^n-(n+1)2^n+(n+1)}{n} \\ &= \frac{(n-3)2^n+n+3}{n} \end{aligned} $$

よって

$$ \boxed{\text{カ}=(n-3)2^n+n+3} $$

である。

解説

この問題では、分散や共分散の定義にそのまま代入して計算することが基本である。

特に重要なのは、分散を

$$ s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2 $$

共分散を

$$ s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i y_i-\bar{x}\bar{y} $$

の形で処理することである。

また、$z_i=2^i$ を含む計算では、等比数列の和

$$ \sum_{i=1}^n 2^i=2(2^n-1) $$

および

$$ \sum_{i=1}^n 4^i=\frac{4(4^n-1)}{3} $$

を使う。共分散 $s_{xz}$ では

$$ \sum_{i=1}^n i2^i=2+(n-1)2^{n+1} $$

が必要になる点が詰まりやすい。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=(n+1)(2n+1)} $$

$$ \boxed{\text{イ}=2^n-1} $$

$$ \boxed{\text{ウ}=n^2-1} $$

$$ \boxed{\text{エ}=n(2^n+1)-3(2^n-1)} $$

$$ \boxed{\text{オ}=(n+1)^2(n-1)} $$

$$ \boxed{\text{カ}=(n-3)2^n+n+3} $$