数学B 数列の和 問題 64 解説

方針・初手

分母が素数 $p$ である既約分数を

$$ \frac{a}{p} $$

と表す。既約であるための条件は $\gcd(a,p)=1$ であるが、$p$ が素数なので、これは $a$ が $p$ の倍数でないことと同値である。

区間 $k-1<\dfrac{a}{p}<k$ に入る分数は、分子 $a$ の範囲に直して数え、さらに和を取ればよい。

解法1

まず、$0<\dfrac{a}{p}<1$ となる分母 $p$ の分数を考える。

この不等式は

$$ 0<a<p $$

と同値である。したがって、分子 $a$ は

$$ a=1,2,\dots,p-1 $$

である。

$p$ は素数なので、$1,2,\dots,p-1$ はいずれも $p$ と互いに素である。よって、これらはすべて既約分数である。

したがって、求める個数は

$$ p-1 $$

である。

次に、$k$ を自然数とし、

$$ k-1<\frac{a}{p}<k $$

を満たす既約分数を考える。両辺に $p$ を掛けると、

$$ p(k-1)<a<pk $$

である。

よって、分子 $a$ は

$$ a=p(k-1)+1,\ p(k-1)+2,\ \dots,\ pk-1 $$

である。これらは全部で $p-1$ 個ある。

また、これらの分子は $p$ の倍数ではないので、すべて $p$ と互いに素である。したがって、すべて既約分数である。

これらの分数の和 $S_k$ は

$$ \begin{aligned} S_k &=\frac{1}{p}{p(k-1)+1+p(k-1)+2+\cdots+p(k-1)+(p-1)}\\ &=\frac{1}{p}\left\{(p-1)p(k-1)+\frac{(p-1)p}{2}\right\}\\ &=(p-1)(k-1)+\frac{p-1}{2}\\ &=\frac{(p-1)(2k-1)}{2}. \end{aligned} $$

よって、

$$ S_k=\frac{(p-1)(2k-1)}{2} $$

である。

最後に、

$$ \sum_{k=1}^{n}S_k $$

を求める。上で求めた式を用いると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}S_k &=\sum_{k=1}^{n}\frac{(p-1)(2k-1)}{2}\\ &=\frac{p-1}{2}\sum_{k=1}^{n}(2k-1). \end{aligned} $$

ここで、初めの $n$ 個の奇数の和は

$$ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2 $$

であるから、

$$ \sum_{k=1}^{n}S_k=\frac{(p-1)n^2}{2} $$

である。

解説

分母が素数 $p$ であることが重要である。分子が $p$ の倍数でなければ、自動的に分母 $p$ と互いに素になる。

区間 $k-1<\dfrac{a}{p}<k$ に含まれる分数は、分子が連続する $p-1$ 個の整数

$$ p(k-1)+1,\ p(k-1)+2,\ \dots,\ pk-1 $$

に対応する。この見方をすると、個数と和が同時に処理できる。

また、$S_k$ が

$$ \frac{(p-1)(2k-1)}{2} $$

となるため、最後は奇数列の和に帰着する。

答え

(1)

$$ p-1 $$

(2)

$$ S_k=\frac{(p-1)(2k-1)}{2} $$

(3)

$$ \sum_{k=1}^{n}S_k=\frac{(p-1)n^2}{2} $$