数学B 数列の和 問題 65 解説

方針・初手

初項が $1$、公差が $2$ の等差数列なので、各項は奇数列 $1,3,5,\ldots$ である。

積の和については、まずすべての異なる $2$ 項の積の和を求める。これは

$$ \begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 &= \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} a_i a_j \end{aligned} $$

を使うと処理しやすい。

また、隣り合っていない $2$ 項の積の和は、すべての異なる $2$ 項の積の和から、隣り合う $2$ 項の積の和を引けばよい。

解法1

(1)

等差数列の一般項より、

$$ a_n=1+2(n-1)=2n-1 $$

である。

したがって、

$$ a_n=2n-1 $$

である。

(2)

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、等差数列の和の公式より、

$$ S_n=\frac{n}{2}{2\cdot 1+(n-1)\cdot 2} $$

である。これを整理すると、

$$ S_n=\frac{n}{2}\cdot 2n=n^2 $$

となる。

したがって、

$$ S_n=n^2 $$

である。

(3)

異なる $2$ 項の積の和を

$$ T_n=\sum_{1\leq i<j\leq n}a_i a_j $$

とおく。

まず、

$$ \sum_{i=1}^n a_i=S_n=n^2 $$

である。また、

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n a_i^2 &= \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 \end{aligned} $$

を計算する。

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 &=\sum_{i=1}^n (4i^2-4i+1)\\ &=4\sum_{i=1}^n i^2-4\sum_{i=1}^n i+\sum_{i=1}^n 1\\ &=4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -4\cdot \frac{n(n+1)}{2} +n\\ &=\frac{n(4n^2-1)}{3} \end{aligned} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 &= \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_i a_j \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} T_n &= \frac{1}{2} \left\{ \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 &= \sum_{i=1}^n a_i^2 \right\} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} T_n &=\frac{1}{2} \left\{ n^4-\frac{n(4n^2-1)}{3} \right\}\\ &=\frac{3n^4-4n^3+n}{6}\\ &=\frac{n(3n^3-4n^2+1)}{6} \end{aligned} $$

となる。

(4)

隣り合っていない異なる $2$ 項の積の和を

$$ U_n=\sum_{\substack{1\leq i<j\leq n\ j-i\geq 2}}a_i a_j $$

とおく。

これは、すべての異なる $2$ 項の積の和 $T_n$ から、隣り合う $2$ 項の積

$$ a_1a_2,\ a_2a_3,\ \ldots,\ a_{n-1}a_n $$

の和を引けばよい。

隣り合う $2$ 項の積の和は、

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n-1}a_i a_{i+1} &= \sum_{i=1}^{n-1}(2i-1)(2i+1) \end{aligned} $$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n-1}(2i-1)(2i+1) &=\sum_{i=1}^{n-1}(4i^2-1)\\ &=4\sum_{i=1}^{n-1}i^2-\sum_{i=1}^{n-1}1\\ &=4\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}-(n-1)\\ &=\frac{(n-1)(4n^2-2n-3)}{3} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} U_n &=T_n-\sum_{i=1}^{n-1}a_i a_{i+1}\\ &=\frac{n(3n^3-4n^2+1)}{6} -\frac{(n-1)(4n^2-2n-3)}{3}\\ &=\frac{3n^4-12n^3+12n^2+3n-6}{6}\\ &=\frac{n^4-4n^3+4n^2+n-2}{2}\\ &=\frac{(n-2)(n-1)(n^2-n-1)}{2} \end{aligned} $$

よって、

$$ U_n=\frac{(n-2)(n-1)(n^2-n-1)}{2} $$

である。

解説

この問題の中心は、異なる $2$ 項の積の和を直接すべて足すのではなく、

$$ \begin{aligned} \left(\sum a_i\right)^2 &= \sum a_i^2+2\sum_{i<j}a_i a_j \end{aligned} $$

を使って一括処理する点である。

第 （4） 問では、「隣り合っていない」という条件を直接数え上げるより、すべての異なる $2$ 項の積の和から隣り合うものだけを除く方が計算が簡潔になる。

答え

(1)

$$ a_n=2n-1 $$

(2)

$$ S_n=n^2 $$

(3)

$$ T_n=\frac{n(3n^3-4n^2+1)}{6} $$

(4)

$$ U_n=\frac{(n-2)(n-1)(n^2-n-1)}{2} $$