数学B 数列の和 問題 67 解説

方針・初手

三角形の辺を方程式で表し、格子点を $x$ 座標ごとに数える。特に、辺 $AB$ は傾きが一定であるため、線分上の格子点数は $x$ 座標の整数値の個数として数えられる。

内部の格子点数は、各整数 $x$ に対して、上下の境界線の間に入る整数 $y$ の個数を数えて和を取る。

解法1

点 $A(n,0)$、点 $B\left(\dfrac{n}{2},n\right)$ を通る直線 $AB$ の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{n-0}{\frac{n}{2}-n} &= \frac{n}{-\frac{n}{2}} \\ -2 \end{aligned} $$

である。したがって、点 $A(n,0)$ を通ることから

$$ y=-2(x-n) $$

すなわち

$$ y=-2x+2n $$

である。

よって、直線 $AB$ の方程式は

$$ y=-2x+2n $$

である。

次に、線分 $AB$ 上の格子点を数える。線分 $AB$ 上では

$$ y=-2x+2n $$

であり、$x$ が整数ならば $y$ も整数である。

また、線分 $AB$ 上の $x$ 座標は

$$ \frac{n}{2}\leqq x\leqq n $$

を満たす。したがって、格子点の個数は、この範囲にある整数 $x$ の個数に等しい。

よって

$$ f(n)=n-\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil+1 $$

である。

$n=6$ のとき、

$$ f(6)=6-3+1=4 $$

である。

$n=9$ のとき、

$$ f(9)=9-5+1=5 $$

である。

$n$ が偶数のとき、$n=2m$ とおくと、

$$ f(n)=2m-m+1=m+1=\frac{n}{2}+1 $$

である。

$n$ が奇数のとき、$n=2m+1$ とおくと、

$$ f(n)=2m+1-(m+1)+1=m+1=\frac{n+1}{2} $$

である。

次に、三角形の内部の格子点数 $g(n)$ を求める。

辺 $OB$ は原点と $B\left(\dfrac{n}{2},n\right)$ を通るので、その方程式は

$$ y=2x $$

である。

辺 $AB$ は

$$ y=-2x+2n $$

である。

したがって、三角形の内部にある格子点 $(x,y)$ は

$$ 0<y<2x,\qquad 0<y<-2x+2n $$

を満たす。

整数 $x$ ごとに数える。

(i)

$n$ が偶数のとき

$n=2m$ とおく。

$x=1,2,\ldots,m$ のとき、上側の境界は $y=2x$ である。内部なので

$$ 1\leqq y\leqq 2x-1 $$

となり、個数は $2x-1$ 個である。

したがって、この部分の個数は

$$ \sum_{x=1}^{m}(2x-1)=m^2 $$

である。

一方、$x=m+1,m+2,\ldots,2m-1$ のとき、上側の境界は $y=-2x+4m$ である。内部なので

$$ 1\leqq y\leqq -2x+4m-1 $$

となり、個数は $4m-2x-1$ 個である。

$x=m+k$ とおくと、$k=1,2,\ldots,m-1$ であり、

$$ \begin{aligned} 4m-2x-1 &= 4m-2(m+k)-1 \\ 2m-2k-1 \end{aligned} $$

である。よって、この部分の個数は

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{m-1}(2m-2k-1) &= 1+3+\cdots +(2m-3) \\ (m-1)^2 \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} g(n)=m^2+(m-1)^2 &= 2m^2-2m+1 \end{aligned} $$

である。$m=\dfrac{n}{2}$ より、

$$ g(n)=\frac{n^2}{2}-n+1 $$

である。

(ii)

$n$ が奇数のとき

$n=2m+1$ とおく。

このとき、$x=1,2,\ldots,m$ では上側の境界は $y=2x$ であるから、内部の格子点の個数は

$$ \sum_{x=1}^{m}(2x-1)=m^2 $$

である。

また、$x=m+1,m+2,\ldots,2m$ では上側の境界は

$$ \begin{aligned} y=-2x+2(2m+1) &= -2x+4m+2 \end{aligned} $$

である。内部なので、整数 $y$ の個数は

$$ -2x+4m+1 $$

個である。

$x=m+1+k$ とおくと、$k=0,1,\ldots,m-1$ であり、

$$ \begin{aligned} -2x+4m+1 &= -2(m+1+k)+4m+1 \\ 2m-1-2k \end{aligned} $$

である。よって、この部分の個数は

$$ \begin{aligned} (2m-1)+(2m-3)+\cdots+1 &= m^2 \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ g(n)=m^2+m^2=2m^2 $$

である。$m=\dfrac{n-1}{2}$ より、

$$ \begin{aligned} g(n)=2\left(\frac{n-1}{2}\right)^2 &= \frac{(n-1)^2}{2} \end{aligned} $$

である。

特に、

$$ g(3)=\frac{(3-1)^2}{2}=2 $$

であり、

$$ g(4)=\frac{4^2}{2}-4+1=5 $$

である。

解説

この問題では、三角形の頂点 $B\left(\dfrac{n}{2},n\right)$ が、$n$ の偶奇によって格子点になるかどうかが変わる。したがって、単純に図形の対称性だけで処理すると数え間違えやすい。

線分 $AB$ 上の格子点は、直線の方程式 $y=-2x+2n$ を使い、$x$ 座標の整数値を数えればよい。内部の格子点は、各整数 $x$ に対して上側の境界が $y=2x$ になる範囲と、$y=-2x+2n$ になる範囲に分けて数えるのが確実である。

$n$ の偶奇によって中央の扱いが変わるため、$n=2m$、$n=2m+1$ と分けて計算するのが自然である。

答え

(1)

$$ \boxed{y=-2x+2n} $$

(2)

$$ \boxed{f(6)=4} $$

$$ \boxed{f(9)=5} $$

$n$ が偶数のとき、

$$ \boxed{f(n)=\frac{n}{2}+1} $$

$n$ が奇数のとき、

$$ \boxed{f(n)=\frac{n+1}{2}} $$

(3)

$$ \boxed{g(3)=2} $$

$$ \boxed{g(4)=5} $$

$n$ が偶数のとき、

$$ \boxed{g(n)=\frac{n^2}{2}-n+1} $$

$n$ が奇数のとき、

$$ \boxed{g(n)=\frac{(n-1)^2}{2}} $$