数学B 数列の和 問題 68 解説

方針・初手

等比数列では、連続する同じ個数の項の和は、前のまとまりの和に公比の累乗をかけたものになる。

したがって、初項から第 $n$ 項まで、第 $n+1$ 項から第 $2n$ 項まで、第 $2n+1$ 項から第 $3n$ 項までを、それぞれ $n$ 個ずつのまとまりとして考える。

解法1

この等比数列の公比を $r$ とする。

初項から第 $n$ 項までの和は

$$ S_n=54 $$

である。

また、初項から第 $2n$ 項までの和が $63$ であるから、第 $n+1$ 項から第 $2n$ 項までの和は

$$ S_{2n}-S_n=63-54=9 $$

である。

第 $n+1$ 項から第 $2n$ 項までの各項は、初項から第 $n$ 項までの各項に $r^n$ をかけたものである。したがって、その和も $r^n$ 倍になる。

よって

$$ 54r^n=9 $$

より、

$$ r^n=\frac{1}{6} $$

である。

次に、第 $2n+1$ 項から第 $3n$ 項までの和を考える。このまとまりは、第 $n+1$ 項から第 $2n$ 項までのまとまりにさらに $r^n$ をかけたものである。

したがって、第 $2n+1$ 項から第 $3n$ 項までの和は

$$ 9r^n=9\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{2} $$

である。

よって、初項から第 $3n$ 項までの和は

$$ S_{3n}=S_{2n}+\frac{3}{2} $$

であり、

$$ S_{3n}=63+\frac{3}{2}=\frac{129}{2} $$

となる。

解説

この問題では、等比数列の和の公式を直接使うよりも、「$n$ 個ずつのまとまりの和が等比数列になる」と見るのが簡潔である。

初めの $n$ 個の和が $54$、次の $n$ 個の和が $9$ なので、その比は

$$ \frac{9}{54}=\frac{1}{6} $$

である。この比が次のまとまりにもそのまま適用できるため、さらに次の $n$ 個の和は

$$ 9\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{2} $$

と求まる。

答え

$$ \frac{129}{2} $$