数学B 数列の和 問題 71 解説

方針・初手

条件 $a+b+c=0$ のもとでは、正の成分の和と負の成分の絶対値の和が等しくなる。したがって

$$ |a|+|b|+|c| $$

は必ず偶数である。

そこで

$$ |a|+|b|+|c|=2m $$

となる点の個数を先に数え、最後に $m$ の範囲で和をとる。

解法1

まず $a+b+c=0$ より、正の成分の和と負の成分の絶対値の和は等しい。したがって

$$ |a|+|b|+|c|=2m $$

とおくと、正の成分の和は $m$ である。

$m=0$ のときは

$$ (a,b,c)=(0,0,0) $$

のみである。

次に $m\geqq 1$ とする。条件

$$ |a|+|b|+|c|=2m $$

を満たす点の個数を数える。

（i） 1つが正、1つが負、1つが $0$ の場合

この場合は、成分は

$$ m,\ -m,\ 0 $$

の並べ替えである。よって個数は

$$ 3!=6 $$

である。

（ii） 1つが正、2つが負の場合

正の成分は $m$ であり、2つの負の成分の絶対値を $x,y$ とすると

$$ x+y=m,\qquad x\geqq 1,\ y\geqq 1 $$

である。

この正整数解の個数は $m-1$ 個である。正の成分が入る場所は $3$ 通りなので、この場合の個数は

$$ 3(m-1) $$

である。

（iii） 2つが正、1つが負の場合

（ii） と同様に、個数は

$$ 3(m-1) $$

である。

したがって、$m\geqq 1$ に対して

$$ |a|+|b|+|c|=2m $$

を満たす点の個数は

$$ 6+3(m-1)+3(m-1)=6m $$

である。

よって

$$ S(2n)=1+\sum_{m=1}^{n}6m $$

となる。これを計算すると

$$ S(2n)=1+6\cdot \frac{n(n+1)}{2} $$

より、

$$ S(2n)=3n(n+1)+1 $$

である。

特に

$$ S(2)=S(2\cdot 1)=3\cdot 1\cdot 2+1=7 $$

である。

解説

この問題では、$a+b+c=0$ により、正の成分の和と負の成分の絶対値の和が等しくなることに気づくのが核心である。その結果、$|a|+|b|+|c|$ は必ず偶数になり、半分の値 $m$ を使って数えると整理しやすい。

また、ちょうど

$$ |a|+|b|+|c|=2m $$

となる点は、座標平面上で六角形状の「外周」にあたり、その個数が $6m$ になる。したがって、$S(2n)$ はその外周の個数を $m=1$ から $n$ まで足し、原点 $1$ 個を加えればよい。

答え

(1)

$$ S(2)=7 $$

(2)

$$ S(2n)=3n(n+1)+1 $$