数学B 数列の和 問題 72 解説

方針・初手

$y$ を固定して、条件を満たす $x$ の個数を数える。条件 $x<y<k<x+y$ のうち、$y<k$ から $y$ の範囲を決め、その後で

$$ x+y>k $$

を $x$ の条件に直す。

解法1

$y$ を固定する。$x<y<k$ より、$y$ は

$$ 2\leq y\leq k-1 $$

を満たす自然数である。

また、$k<x+y$ より

$$ x>k-y $$

であるから、$x$ は

$$ k-y+1\leq x\leq y-1 $$

を満たす自然数でなければならない。

したがって、このような $x$ が存在するためには

$$ k-y+1\leq y-1 $$

が必要十分である。これを整理すると

$$ 2y\geq k+2 $$

となる。

よって、固定した $y$ に対する $x$ の個数は

$$ (y-1)-(k-y+1)+1=2y-k-1 $$

である。

したがって

$$ a_k=\sum_{y=\lceil (k+2)/2\rceil}^{k-1}(2y-k-1) $$

と表せる。

(1)

$k=7$ のとき、

$$ a_7=\sum_{y=5}^{6}(2y-8) $$

であるから、

$$ a_7=(10-8)+(12-8)=2+4=6 $$

となる。

また $k=8$ のとき、

$$ a_8=\sum_{y=5}^{7}(2y-9) $$

であるから、

$$ a_8=(10-9)+(12-9)+(14-9)=1+3+5=9 $$

となる。

(2)

$k=2m-1$ のとき、

$$ \begin{aligned} \left\lceil \frac{k+2}{2}\right\rceil &= \left\lceil \frac{2m+1}{2}\right\rceil =m+1 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} a_{2m-1} &=\sum_{y=m+1}^{2m-2}(2y-2m)\\ &=\sum_{t=1}^{m-2}2t\\ &=2\cdot \frac{(m-2)(m-1)}{2}\\ &=(m-1)(m-2) \end{aligned} $$

となる。

次に $k=2m$ のとき、

$$ \begin{aligned} \left\lceil \frac{k+2}{2}\right\rceil &= \left\lceil \frac{2m+2}{2}\right\rceil =m+1 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} a_{2m} &=\sum_{y=m+1}^{2m-1}(2y-2m-1)\\ &=\sum_{t=1}^{m-1}(2t-1)\\ &=(m-1)^2 \end{aligned} $$

となる。

(3)

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n}a_k &= \sum_{m=1}^{n}\left(a_{2m-1}+a_{2m}\right) \end{aligned} $$

である。（2） の結果を用いると、

$$ \begin{aligned} a_{2m-1}+a_{2m} &=(m-1)(m-2)+(m-1)^2\\ &=(m-1)(2m-3) \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n}a_k &=\sum_{m=1}^{n}(m-1)(2m-3) \end{aligned} $$

ここで $r=m-1$ とおくと、$m=1,2,\dots,n$ に対して $r=0,1,\dots,n-1$ であり、

$$ (m-1)(2m-3)=r(2r-1) $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n}a_k &=\sum_{r=0}^{n-1}r(2r-1)\\ &=2\sum_{r=0}^{n-1}r^2-\sum_{r=0}^{n-1}r\\ &=2\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}-\frac{n(n-1)}{2}\\ &=\frac{n(n-1)(2n-1)}{3}-\frac{n(n-1)}{2}\\ &=\frac{n(n-1)(4n-5)}{6} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、$x$ と $y$ を同時に動かして数えるより、$y$ を固定して $x$ の範囲を数える方が整理しやすい。

条件 $x<y$ と $x+y>k$ から

$$ k-y+1\leq x\leq y-1 $$

が出る。この範囲に自然数がいくつあるかを数えることで、$a_k$ が和の形で表せる。

また、$k$ が奇数か偶数かで $\lceil (k+2)/2\rceil$ の値が変わるため、$a_{2m-1}$ と $a_{2m}$ に分けるのが自然である。

答え

(1)

$$ a_7=6,\qquad a_8=9 $$

(2)

$$ a_{2m-1}=(m-1)(m-2),\qquad a_{2m}=(m-1)^2 $$

(3)

$$ \sum_{k=1}^{2n}a_k=\frac{n(n-1)(4n-5)}{6} $$