方針・初手

係数が一定の2項間漸化式なので、特性方程式を用いる。まず

$$ (\sqrt{2}+1)a_{n+2}=\sqrt{2}a_{n+1}+a_n $$

を

$$ (\sqrt{2}+1)a_{n+2}-\sqrt{2}a_{n+1}-a_n=0 $$

と見て、特性方程式を立てる。

解法1

特性方程式は

$$ (\sqrt{2}+1)x^2-\sqrt{2}x-1=0 $$

である。

$x=1$ を代入すると

$$ (\sqrt{2}+1)-\sqrt{2}-1=0 $$

となるので、$x=1$ は解である。

もう一つの解を求める。解の積は

$$ \frac{-1}{\sqrt{2}+1} $$

であり、

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1 $$

だから、もう一つの解は

$$ 1-\sqrt{2} $$

である。

したがって、一般項は

$$ a_n=A+B(1-\sqrt{2})^{n-1} $$

と表せる。

初期条件 $a_1=-1$ より

$$ A+B=-1 $$

また、$a_2=\sqrt{2}-1$ より

$$ A+B(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1 $$

である。

2式を引くと

$$ B{(1-\sqrt{2})-1}=(\sqrt{2}-1)-(-1) $$

すなわち

$$ -\sqrt{2}B=\sqrt{2} $$

となるので、

$$ B=-1 $$

である。

よって

$$ A+(-1)=-1 $$

より

$$ A=0 $$

である。

したがって

$$ a_n=-(1-\sqrt{2})^{n-1} $$

を得る。

解法2

まず、初期値から

$$ a_1=-1=-(1-\sqrt{2})^0 $$

$$ a_2=\sqrt{2}-1=-(1-\sqrt{2}) $$

であることに注目する。

そこで

$$ a_n=-(1-\sqrt{2})^{n-1} $$

と予想し、漸化式を満たすことを確認する。

右辺は

$$\sqrt{2}a_{n+1}+a_n -\sqrt{2}(1-\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^{n-1}$$

である。共通因数をくくると

$$ \begin{aligned} \sqrt{2}a_{n+1}+a_n &=-(1-\sqrt{2})^{n-1}{\sqrt{2}(1-\sqrt{2})+1} \\ &=-(1-\sqrt{2})^{n-1}(\sqrt{2}-2+1) \\ &=-(1-\sqrt{2})^{n-1}(\sqrt{2}-1) \end{aligned} $$

ここで

$$ \sqrt{2}-1=-(1-\sqrt{2}) $$

だから、

$$ \begin{aligned} \sqrt{2}a_{n+1}+a_n &=(1-\sqrt{2})^n \end{aligned} $$

一方、左辺は

$$ \begin{aligned} (\sqrt{2}+1)a_{n+2} &=(\sqrt{2}+1){-(1-\sqrt{2})^{n+1}} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ (\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2})=-1 $$

より、

$$ \begin{aligned} (\sqrt{2}+1)a_{n+2} &=-(1-\sqrt{2})^n{(\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2})} \\ &=(1-\sqrt{2})^n \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ (\sqrt{2}+1)a_{n+2}=\sqrt{2}a_{n+1}+a_n $$

が成り立つ。

初期条件も満たすので、

$$ a_n=-(1-\sqrt{2})^{n-1} $$

である。

解説

この問題は、定数係数の線形漸化式である。したがって、まず特性方程式を立てるのが最も自然である。

特性方程式の一つの解が $1$ になるため、一般には定数項を含む形になる。ただし、初期条件を代入すると定数部分が消え、最終的には単純な形

$$ a_n=-(1-\sqrt{2})^{n-1} $$

になる。

また、$1-\sqrt{2}=-(\sqrt{2}-1)$ であるため、符号が交互に現れる形として見ることもできる。

答え

$$ a_n=-(1-\sqrt{2})^{n-1} $$